Помогите! 1) Найдите наибольшее целое значение а, при котором система имеет два решения. 2) При каких значениях а, уравнение име
Помогите! 1) Найдите наибольшее целое значение а, при котором система имеет два решения. 2) При каких значениях а, уравнение имеет два различных отрицательных корня.
- 1 Давайте выразим x из первого уравнения и подставим его во второе. x = a - y (a-y)^2 + y^2 = 1 Рассмотрим более подробно последнее уравнение. Раскроем в нём скобки и поглядим, к чему дело придёт. (y-a)^2 + y^2 = 1 y^2 - 2ay + a^2 + y^2 - 1 = 0 2y^2 - 2ay + a^2 - 1 = 0 Итак, мы получили квадратное уравнение. Для того чтобы уловить ответ на вопрос задачи, давайте рассмотрим это уравнение и x = a - y вместе. Что мы знаем о квадратном уравнении? Оно имеет либо два различных решения, либо имеет одно решение, либо же вовсе их не имеет. Сразу можем отмести последний случай - если нет корней у уравнения, то дальше и говорить не о чем. Пусть квадратное уравнение имеет единственный корень. Ну тогда смотрим, что будет с уравнением x = a-y. Оно тоже имеет одно решение, что довольно очевидно. Понятное дело, что единственному y соответствует лишь единственный x. А вот случай двух различных корней нам полностью подходит. Когда квадратное уравнение имеет два корня? Очевидно, когда его дискриминант положителен. Ищем D: D = 4a^2 - 8(a^2-1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = -4a^2 + 8 Исходя из изложенного -4a^2 + 8 > 0 a^2 - 2 < 0 Решением неравенства служит интервал (-sqrt2; sqrt2). Все такие а и есть решение задачи. нам же нужно выбрать наибольшее целое из этого интервала. sqrt2 - это приблизительно 1.4, значит, наибольшее целое - это a = 1
2 Присматриваемся к уравнению некоторое время, и замечаем, что оно квадратное. Подумаем, когда же квадратное уравнение может иметь два различных отрицательных корня. Ну во-первых, корней должно быть два и они должны быть различными. Эту ситуацию у нас "обслуживает" дискриминант. Совершенно понятно, что для двух различных корней он должен быть положителен. Так, с этим разобрались. А вот что дальше? Дискриминант не обеспечивает же то, каковы корни по знаку, значит нам нужно что-то ещё. И это что-то - теорема Виета. Вспомните: если у нас есть уравнение x^2 + bx + c = 0, то для него справедливо следующее: 1)x1 * x2 = c, 2)x1 + x2 = -b Здесь x1 и x2 - корни квадратного уравнения. Как мы этим воспользуемся? А очень просто. Если оба корня отрицательны, то из произведение положительно, а сумма отрицательна. Значит, у нас x1 * x2 > 0, а x1 + x2 < 0. Останется просто записать это всё через теорему Виета. Основную идею мы нашли. Теперь приступим к реализации. x1 + x2 = 3 - 2a, а x1 * x2 = a^2 - 2a Тогда для выполнения требования нам нужно, чтобы D > 0 3 - 2a < 0 a^2 - 2a > 0 Осталось найти D, решить полученную систему и получить ответ. D = (2a-3)^2 - 4(a^2 - 2a) = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 8a = -4a + 9
-4a + 9 > 0 4a - 9 < 0 a < 9/4
3-2a < 0 2a > 3 a > 3/2
a^2 - 2a > 0 a(a - 2) > 0 Решением этого неравенства служит объединение a < 0 и a > 2 Осталось решения этих трёх неравенств пересечь между собой, и мы получаем окончательный ответ: 2< a < 9/4
Аналитическим способом это будет так выглядеть: (Все решено при условии, что х2 - это х во второй степени). Выражение приравниваем к 0: Знаменатель дроби не должен быть = 0, х+2=0 х=-2 Т. е. х не равен -2 Решаем уравнение х^2-9=0 х^2=9 х=3 х=-3 Оба ответа не противоречат условию, f(x)=0 при х=3, х=-3
График y=ax², у него ветви параболы направлены вверх, а у y=-ax² - они направлены вниз( об этом говорит знак минус(-). т.е. они отличаются направлением параболы(↓ или ↑)