Многие неодушевленные имена существительные мужского рода и второго склонения в падеже предложном числа единственного имеют вариантные формы, что связано с синтаксической ролью предложного сочетания в тексте.
Они могут выражать либо обстоятельственное значение (тогда употребляется форма на -у), либо объектное (присуще форме на -е).
Рассмотрим все приведенные имена существительные и выясним, имеют ли они дублетные формы.
1) Для строительства домов сельчанам выделили лес на корню. Это означает, что выделили делянку, часть не срубленного ещё леса.
Врач определил, что появилась трещинка на корне зуба.
2) Целую неделю больной пролежал в бреду. Психотерапевты выделяют в бреде человека главные особенности.
3) Праздник Великой Победы мы отметим в кругу своих родственников. На меня произвела сильное впечатление книга Солженицына "В круге первом".
5) Все курсанты уже стояли в строю. Ученица никак не может разобраться в строе сложных бессоюзных предложений.
И наконец существительное "пляж".
Оно не имеет вариантных форм в предложном падеже ни с одним предлогом в сочетании.
Есть только один-единственный вариант употребления этого существительного в предложном падеже.
Девочки пришли на озеро поздновато, в результате никак не могли найти местечко на пляже.
Думается мне, это связано с тем, что существительное "пляж" имеет только одно лексическое значение, в отличие от всех рассмотренных выше существительных. Пляж... он и есть пляж близ какого-либо водоёма, не более.
Правда, должна упомянуть о строчке из какой-то песенки Газманова -- "На пляжу лежу и в небо я гляжу".
Однако смею предположить, что это спето с иронией, что автор понимает неправильность такого употребления формы слова пляж.
