Question

Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции , Осью Ox и прямой x=4

Answer 1

Определенный интеграл $\int\limits^a_b {f(x)} \, dx$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу прямой $y=0$, слева и справа прямыми $x=a$ и $x=b$.

Найдем точку пересечения графика $y= \sqrt{x}$ с осью х:
$\sqrt{x} =0\Rightarrow x=0$

$\int\limits^4_0 \sqrt{x} \, dx = \int\limits^4_0 x^{ \frac{1}{2} } \, dx = \dfrac{x^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2}+1} |^4_0= \dfrac{x^{ \frac{3}{2} }}{ \frac{3}{2}} |^4_0= \frac{2x \sqrt{x} }{3} |^4_0= \\\ = \frac{2\cdot4 \sqrt{4} }{3} - \frac{2\cdot0 \sqrt{0} }{3} = \frac{8\cdot 2 }{3} = \frac{16}{3}$