Question

Как выразить tg 22 градусов 30 минут? ctg 22 градусов 30 минут?

Answer 1

tg (22°30') > 0 ;  сtg (22°30') > 0 - первая четверть

$tg (22\textdegree 30')=\sqrt{\dfrac{1-\cos (45\textdegree)}{1+\cos (45\textdegree)}}=\sqrt\dfrac{1-\frac{\sqrt2}2}{1+\frac{\sqrt2}2}}=\\\\\\=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{(2-\sqrt2)^2}{(2+\sqrt2)\cdot (2-\sqrt2)}}=\\\\\\=\sqrt{\dfrac{4-4\sqrt2+2}{2}}\boldsymbol{=\sqrt{3-2\sqrt2}}$

$ctg (22\textdegree 30')=\sqrt{\dfrac{1+\cos (45\textdegree)}{1-\cos (45\textdegree)}}=\sqrt\dfrac{1+\frac{\sqrt2}2}{1-\frac{\sqrt2}2}}=\\\\\\=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}}=\sqrt{\dfrac{(2+\sqrt2)^2}{(2-\sqrt2)\cdot (2+\sqrt2)}}=\\\\\\=\sqrt{\dfrac{4+4\sqrt2+2}{2}}\boldsymbol{=\sqrt{3+2\sqrt2}}$

Проверка :

$tg (22\textdegree 30')\cdot ctg (22\textdegree 30')=\\\\=\sqrt{3-2\sqrt2}\cdot \sqrt{3+2\sqrt2}=3^2-(2\sqrt 2)^2=1$

======================================

Использованы формулы

$tg^2\dfrac {\alpha }2=\dfrac{1-\cos \alpha }{1+ \cos \alpha }\\\\ctg^2\dfrac {\alpha }2=\dfrac{1+\cos \alpha }{1- \cos \alpha }\\\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)$