10. Обозначим заряды от края до края, как: A, B, C и D. Два заряда в середине: B и C – трогать не будем. Заряд A будем перемещать по дуге окружности с радиусом
![L](https://tex.z-dn.net/?f=+L+)
с центром в точке B. Аналогично, заряд D будем перемещать по дуге окружности с радиусом
![L](https://tex.z-dn.net/?f=+L+)
с центром в точке C.
Расстояния: AB, BC и CD в процессе перемещения – не изменятся. А значит, не изменится и потенциальная энергия взаимодействия пар AB, BC и CD.
Расстояние AD – в процессе перемещения изменятся с
![3L](https://tex.z-dn.net/?f=+3L+)
до
![L \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+L+%5C+%2C+)
а значит, потенциальная энергия возрастёт на величину:
![\Delta U_{AD} = k \cdot \frac{q^2}{L} - k \cdot \frac{q^2}{3L} = ( 1 - \frac{1}{3} ) k \cdot \frac{q^2}{L} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CDelta+U_%7BAD%7D+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+-+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B3L%7D+%3D+%28+1+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%5C+%3B+)
Расстояние AC – в процессе перемещения изменятся с
![2L](https://tex.z-dn.net/?f=+2L+)
до
![\sqrt{2} \cdot L \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B2%7D+%5Ccdot+L+%5C+%2C+)
а значит, потенциальная энергия возрастёт на величину:
![\Delta U_{AC} = k \cdot \frac{q^2}{\sqrt{2} \cdot L} - k \cdot \frac{q^2}{2L} = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{2} ) k \cdot \frac{q^2}{L} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CDelta+U_%7BAC%7D+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D+%5Ccdot+L%7D+-+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B2L%7D+%3D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%5C+%3B+)
Расстояние BD – в процессе перемещения, как и потенциальная энергия за счёт этого перемещения – изменятся так же, как и в случае AC.
Общее увеличение потенциальной энергии как раз и потребует затраты энергии со стороны внешних сил, т.е. совершения работы. Итак:
![A = \Delta U_{AD} + 2 \Delta U_{AC} = ( 1 - \frac{1}{3} ) k \cdot \frac{q^2}{L} + 2 ( \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{2} ) k \cdot \frac{q^2}{L} = ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} ) k \cdot \frac{q^2}{L} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+A+%3D+%5CDelta+U_%7BAD%7D+%2B+2+%5CDelta+U_%7BAC%7D+%3D+%28+1+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%2B+2+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%3D+%28+%5Csqrt%7B2%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%5C+%3B+)
ОТВЕТ:
![A = ( \sqrt{2} - \frac{1}{3} ) k \cdot \frac{q^2}{L} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+A+%3D+%28+%5Csqrt%7B2%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7BL%7D+%5C+%3B+)
11. Напряжённости поля
![E_{nbr} \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+E_%7Bnbr%7D+%5C+%2C+)
создаваемого зарядами в соседних вершинах перпендикулярны друг другу и равны, а значит в сумме в
![\sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B2%7D+)
раза больше каждой из них, а сам вектор суммы этих двух напряжённостей расположен симметрично-диагонально, т.е. сонаправленны с напряжённостью поля
![E_d \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+E_d+%5C+%2C+)
создаваемого третьим диагональным зарядом.
Итак, суммарная напряжённость поля, создаваемая соседними зарядами:
![E_{nbr} = \sqrt{2} \cdot k \cdot \frac{q}{a^2} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+E_%7Bnbr%7D+%3D+%5Csqrt%7B2%7D+%5Ccdot+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%5E2%7D+%5C+%3B+)
А общая напряжённость в четвёртой точки выразится, как:
![E_4 = E_{nbr} + E_d = \sqrt{2} \cdot k \cdot \frac{q}{a^2} + k \cdot \frac{q}{2a^2} = ( \sqrt{2} + \frac{1}{2} ) k \cdot \frac{q}{a^2} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+E_4+%3D+E_%7Bnbr%7D+%2B+E_d+%3D+%5Csqrt%7B2%7D+%5Ccdot+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%5E2%7D+%2B+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7B2a%5E2%7D+%3D+%28+%5Csqrt%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%5E2%7D+%5C+%3B+)
Потенциал в 4-ой точке равен алгебраической сумме потенциалов:
![\varphi_4 = k \cdot \frac{q}{a} + k \cdot \frac{q}{a} + k \cdot \frac{q}{\sqrt{2} \cdot a} = ( 2 + \frac{1}{ \sqrt{2} } ) k \cdot \frac{q}{a} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi_4+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%7D+%2B+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%7D+%2B+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D+%5Ccdot+a%7D+%3D+%28+2+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%7D+%5C+%3B+)
ОТВЕТ:
![E_4 = ( \sqrt{2} + \frac{1}{2} ) k \cdot \frac{q}{a^2} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+E_4+%3D+%28+%5Csqrt%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%5E2%7D+%5C+%3B+)
![\varphi_4 = ( 2 + \frac{1}{ \sqrt{2} } ) k \cdot \frac{q}{a} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi_4+%3D+%28+2+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Ba%7D+%5C+%3B+)
12. Объём капельки выражается, как:
![v = \frac{4}{3} \pi r^3 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+v+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r%5E3+%5C+%3B+)
а объём объединённой капли выражается, как:
![V = \frac{4}{3} \pi R^3 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+V+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+R%5E3+%5C+%3B+)
Разделив два последних равенства, получим:
![\frac{V}{v} = \frac{R^3}{r^3} = N \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BV%7D%7Bv%7D+%3D+%5Cfrac%7BR%5E3%7D%7Br%5E3%7D+%3D+N+%5C+%3B+)
![\frac{R}{r} = \sqrt[3]{N} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BR%7D%7Br%7D+%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7BN%7D+%5C+%3B+)
Потенциал каждой заряженной капельки выражается, как:
![\varphi = k \cdot \frac{q}{r} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7Bq%7D%7Br%7D+%5C+%3B+)
Потенциал объединённой заряженной капли выражается, как:
![\varphi_1 = k \cdot \frac{Q}{R} = k \cdot \frac{Nq}{R} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi_1+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7BQ%7D%7BR%7D+%3D+k+%5Ccdot+%5Cfrac%7BNq%7D%7BR%7D+%5C+%3B+)
Разделив два последних равенства, получим:
![\frac{\varphi_1}{\varphi} = \frac{Nq}{R} : \frac{q}{r} = N \cdot \frac{r}{R} = \frac{N}{ \sqrt[3]{N} } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Cvarphi_1%7D%7B%5Cvarphi%7D+%3D+%5Cfrac%7BNq%7D%7BR%7D+%3A+%5Cfrac%7Bq%7D%7Br%7D+%3D+N+%5Ccdot+%5Cfrac%7Br%7D%7BR%7D+%3D+%5Cfrac%7BN%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7BN%7D+%7D+%5C+%3B+)
![\varphi_1 = \frac{N}{ \sqrt[3]{N} } \varphi = N^{2/3} \varphi \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi_1+%3D+%5Cfrac%7BN%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7BN%7D+%7D+%5Cvarphi+%3D+N%5E%7B2%2F3%7D+%5Cvarphi+%5C+%3B+)
![\varphi_1 = 1000^{2/3} 0.01 \approx 1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cvarphi_1+%3D+1000%5E%7B2%2F3%7D+0.01+%5Capprox+1+)
В .