Question

В квадрате ABCD сторона равна 6.Найдите скалярное произведение векторов DC и OA.

Answer 1

Так как в условии не написано, где находится точка О, будем считать, что это точка пересечения диагоналей.

ABCD - квадрат : AB=BC=CD=AD=6    ⇒    $\boldsymbol{|\vec {DC}|=6}$

OA - половина диагонали квадрата  ⇒   $\boldsymbol{|\vec {OA}|}=\dfrac{AD\cdot \sqrt{2}}{2}=\dfrac{6\cdot \sqrt{2}}{2}=\boldsymbol{3\sqrt{2}}$

∠A'DC = ∠A'DO + ∠ODC = 90° + 45° = 135°

$\vec {DC}\cdot \vec {OA}=|\vec {DC}|\cdot |\vec {OA}|\cdot cos\angle A'DC=\\\\=6\cdot 3\sqrt{2}\cdot cos 135^o=18\sqrt{2}\cdot \Big(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)=-18$

$\boxed{\boldsymbol{\vec {DC}\cdot \vec {OA}=-18}}$

============================================

Второй способ - координатный.

Разместим квадрат в прямоугольной системе координат, взяв за точку отсчёта вершину А. Так как сторона квадрата равна 6, то точки будут иметь координаты

A(0; 0);  B(0; 6);  C(6; 6); D(6; 0); O(3; 3)

Тогда координаты векторов  $\vec {DC}(0;6);~~\vec {OA}(-3;-3)$

$\vec {DC}\cdot \vec {OA}=x_{\vec {DC}}\cdot x_{\vec {OA}}+y_{\vec {DC}}\cdot y_{\vec {OA}}=\\ \\ =0\cdot (-3)+6\cdot (-3)=-18$