Ответ:
![-\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} <x<\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%7D%7B3%7D%20%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%7D%7B3%7D)
Объяснение:
Используем формулу косинуса тройного угла и выносим затем общий множитель за скобки:
![cos9x=4cos^{3} 3x-3cos3x\\ 4cos^{3} 3x-3cos3x+4cos3x>0\\ 4cos^{3} 3x+cos3x>0\\ cos3x(4cos^{2} 3x+1)>0](https://tex.z-dn.net/?f=cos9x%3D4cos%5E%7B3%7D%203x-3cos3x%5C%5C%204cos%5E%7B3%7D%203x-3cos3x%2B4cos3x%3E0%5C%5C%204cos%5E%7B3%7D%203x%2Bcos3x%3E0%5C%5C%20cos3x%284cos%5E%7B2%7D%203x%2B1%29%3E0)
Замечаем, что второй множитель всегда положителен, поскольку имеет вид суммы квадрата, который всегда неотрицателен, и единицы, прибавление которой делает все выражение только положительным. Первый же множитель уже может быть как положительным, так и отрицательным. Стало быть, для положительности всего произведения он должен быть только положительным. Значит, неравенство равносильно следующему:
![cos3x>0](https://tex.z-dn.net/?f=cos3x%3E0)
Это неравенство уже вполне известно, как решать. Сначала ради удобства сделаем замену
.
![cost>0](https://tex.z-dn.net/?f=cost%3E0)
Ну и дальше это простейшее неравенство решаем с помощью окружности.
Относительно t решение:
![-\frac{\pi }{2} +2\pi n<t<\frac{\pi }{2} +2\pi n\\](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2B2%5Cpi%20n%3Ct%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2B2%5Cpi%20n%5C%5C)
Относительно x:
![-\frac{\pi }{2} +2\pi n<3x<\frac{\pi }{2} +2\pi n\\ -\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} <x<\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2B2%5Cpi%20n%3C3x%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2B2%5Cpi%20n%5C%5C%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%7D%7B3%7D%20%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%2B%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%7D%7B3%7D)