АК = СМ как половинки равных боковых сторон,
AD = DC так как BD - медиана
∠ВАС = ∠ВСА как углы при основании равнобедренного треугольника, ⇒
ΔAKD = ΔCMD по двум сторонам и углу между ними.
Треуг. BMK подобен треуг. BAC (угол В общий, угол BMK = углу BAC (т.к. MK || АС) ).Т.к. ВМ: АМ= 1 : 4, то AM = 4BM, следовательно AB = 5BM.
В силу подобия треуг. получаем, что и остальные стороны треуг. ABC в 5 раз больше сторон треуг. ВМК.
Периметр тр ВМК = BM + MK + BK
Периметр тр ABC = AB + BC + AC = 5BM + 5MK + 5BK = 5(BM + MK + BK) = 25 (см)
Значит периметр тр ВМК = 25 : 5 = 5 (см)
Если сторона и угол между ними одного треугольник соответственно равны стороне и углу другого треугольника то такие треугольники равны
AD перпендикулярна BC, значит углы между ними по 90°
MK- биссектриса (делит угол по полам) следует, что углы AMK=BMK=45°
KMC=AMK+AMC=45°+90°=135°
KMD=BMK+BMD=45°+90°=135°
Ответ: внешняя касательная=24, внутренняя - 20.
Объяснение: Пусть центры данных окружностей А и В,
АВ=25 - расстояние между центрами (дано);
внешняя касательная МК, внутренняя ТН.
АМ=4 - радиус меньшей окружности (дано) и перпендикулярен МК (<em>свойство радиуса и касательной</em>),
ВК=11 - радиус большей окружности перпендикулярен КМ.
а) <u>внешняя касательная МК</u>: Проведем АС параллельно МК. Четырехугольник АМКС - прямоугольник, СК=АМ=4 ⇒
ВС=ВК-СК=11-4=7
Треугольник АВС - прямоугольный.
По т. Пифагора АС=√(AB²-BC²)=√(25²-7²)=24
МК=АС=24 (ед. длины)
б)<u>внутренняя касательная</u> НТ:
Проведем радиусы АН и ВТ в точки касания. Из центра большей окружности проведем прямую параллельно ТН, продлим АН до пересечения с прямой из В в точке Е. Четырехугольник НТВЕ - прямоугольник (радиусы перпендикулярны касательной, противоположные стороны попарно параллельны и равны). АЕ=АН+НЕ=4+11=15; АВ=25 ( дано). По т.Пифагора из прямоугольного треугольника АВЕ катет ВЕ=√(AB²-AE²)=√(25²-15²)=20.
ТН=ВЕ=20 (ед. длины)
