Question

Дам 30 баллов .
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведены
высота CH, биссектриса CK и медиана CM. Известно, что HK = 3 и
KM = 5. Найдите стороны треугольника ABC и длину биссектрисы CK.

Answer 1

Пусть AH=y, MB=x. Так как CH - высота из прямого угла, то $AC=\sqrt{y\times(y+8+x)$, более того $x=y+8$, значит, $AC=\sqrt{2x(x-8)}$, аналогично $BC=\sqrt{2x(x+8)}$. Так как CK - биссектриса, то $\frac{\sqrt{2x(x-8})}{\sqrt{2x(x+8)}}=\frac{AK}{KB}= \frac{x-5}{x+5} \Rightarrow \frac{x-8}{x+8}=\frac{(x-5)^2}{(x+5)^2}\Rightarrow x=10$, откуда катеты: $AC=2\sqrt{10},\; BC=6\sqrt{10}$.

$CH=\sqrt{AH\times HB}=\sqrt{2\times 18}=6$; По теореме Пифагора:

$CK=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$