Ответ:
1. Выражение «Gott sei Dank“
Означает "к счастью", выражает облегчения после решения к.-л. проблемы
Gott sei Dank, das war eine richtige Entscheidung.
Слава Богу (к счастью), это было правильное решение.
Это разговорное выражение, имеет очень древнее происхождение, выражение упомянуется еще в Библии. С конца 10 — начала 11 века выражение используется в качестве общей формулы благодарности. Уже несколько столетий в разговорной речи это выражение утратило свое религиозное значение.
2. Danke dir
Означает «спасибо (тебе), т.е. по сравнению c „Gott sei Dank“ имеет принципиально другое значение. (<em>не "к счастью)</em>
3. Что такое «sei“?
Konjunktiv I – сослагательное наклонение для передачи косвенной речи (как правило, газетные статьи, новости), а также передачи косвенного побуждения (лозунги, инструкции, рецепты)
Глагол «sein“ представляет собой исключение и спрягается так:
ich sei
du sei (e) st
er/ sie/ es sei
wir seien
ihr seiet
sie, Sie seien
Даю пример:
Seien wir froh, das alles vorbei ist! - Нам надо порадоваться, что всё закончилось!
Er sagt, sie seien im Kino. (он говорит, что они в кино).
Eine Versammlung sei für Montag eingeplant. (это передача чьей-то прямой речи, т. е. она, как и в английском, переведена в косвенную речь).
Поэтому "Gott sei Dank" - мое обращение к Богу - типа прими мою благодарность!" - побудительное предложение!
4. «Du sei dank" "Du bist dank" (Вместо danke dir) сказать НЕЛЬЗЯ!
можно сказать "dank dir"
Das habe ich dank dir geschafft - я справился с этим благодаря тебе.
Можно сказать: Ich bin dir dankbar/ danke dir/ vielen Dank/ herzlichen Dank/ tausend Dank/ hab(t) Dank
<u>5. danke und Dank</u>
Ja, "danke" ist ein Pаrtikel - частица (danke schön/ danke sehr)
Der Dank - существительное мужского рода
Gott sei Dank - здесь пишется с большой буквы!)
<u>6. Danke Gott</u>
Это благодарение Богу! Используется в молитвах.
Danke Gott für mein Leben!
Благодарю тебя, Господи, за мою жизнь!
---------------------------------------------------------------
Vielen Dank für Ihre interessante Frage! :-)