Question

Помогите очень прошу срочно нужно!!!
Докажите равенство:
1)sin105' *sin75'=1/4
2)4sin(π/6 -β)cos(π/6+β)=3-4сos^2β Найдите значения выражения :
cos12x-cos6x-2cos7x* cos5x, если cosx=-√3/3

Answer 1

sin105°*cos75°  = sin(180° -75°)*cos75° = sin75°*cos75°  =(sin2*75°)/2 =
(sin150°)/2 =(sin(180°- 30°))/2 = (sin30°)/2 =(1/2) /2 =1/4.
------------
1)  sin105°*sin75°  = sin(180° -75°)*sin75° = sin75°*sin75° =sin²75°=
(1 -cos2*75°)/2 =(1 -cos150°)/2  = (1 -cos(180° -30°) )/2  = (1+cos30°) /2 =
(2+√3) / 4 .
* * * sin²75° =(sin45°cos30° + cos45°sin30°) ² = ( (1/√2)*(√3)/2 +(1/√2)*(1)/2)  ) ²  =(1/8) *(√3 +1) ² =(1/8) *(3 +2√3 +1)= (1/4)  *(2 +√3 )= (2 +√3 ) /4.
---
2) 4sin(π/6 -β)cos(π/6+β)=  4 *(sin(π/6 -β+π/6+β) + sin(π/6 -β-π/6-β)  )/2 =
2 *(sin π/3 + sin( -2β) )  = 2 *( (√3)/2  - sin2β )  =√3  -2 sin2β. 
* * * А если  преобразование начнем с правой стороны равенства , то
3 - 4cos²β = 4(1 - cos²β) -1 =4sin²β -1 =2*2sin²β -1 =2(1 -cos2β)  -1 =
2(1 - cos2β  -1/2) = 2(1/2 -cos2β) = 2(cosπ/3 -cos2β) = 2(cosπ/3 -cos2β) =
- 4sin(π/6- β)*sin(π/6+ β) .