Question

Корни уравнения 3x^2+2x+k=0 равны a и c. Найдите коэффициент k такой, чтобы: 1) a-c=6; 2) 3a-c=4; 3) a^2+c^2=34; 4) a : c=-2 : 5

Answer 1

Объяснение:

согласно теореме Виета

$a + c = - \frac{2}{3} \\ ac = \frac{k}{3}$

1) сложим первое уравнение и равенство a-c=6, и найдем a:

$a + c + a - c = - \frac{2}{3} + 6 \\ 2a = \frac{16}{3} \\ a = \frac{8}{3}$

из произведения корней выразим c через k

$\frac{8}{3} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{k}{8}$

подставим c и k в равенство суммы корней

$\frac{8}{3} + \frac{k}{8} = - \frac{2}{3} \\ \frac{k}{8} = - \frac{10}{3} \\ k = - \frac{80}{3}$

2) сложим сумму корней с равенством 3a-c=4

$4a = - \frac{2}{3} + 4 \\ a = \frac{5}{6}$

выразим c через k

$\frac{5}{6} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{2k}{5}$

отсюда подставим в сумму корней

$\frac{5}{6} + \frac{2k}{5} = - \frac{2}{3} \\ \frac{2k}{5} = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2} \\ k = - \frac{15}{4}$

3) возведем сумму корней уравнения в квадрат

${(a + c)}^{2} = {( - \frac{2}{3} )}^{2} \\ {a}^{2} + 2ac + {b}^{2} = \frac{4}{9}$

подставим заданное

${a}^{2} + {b}^{2} = 34$

получим

$34 + 2ac = \frac{4}{9} \\ ac = \frac{2}{9} - 17 = - \frac{151}{9}$

это и есть произведение корней:

$\frac{k}{3} = - \frac{151}{9} \\ k = - \frac{151}{3}$

4) как в предыдущем пункте возведем в квадрат сумму корней и разделим обе части равенства на ac:

$\frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a} = \frac{4}{9} \frac{1}{ac}$

подставляем заданное отношение корней

$\frac{a}{c} = - \frac{2}{5}$

и исходное произведение корней

$- \frac{2}{5} + 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{9} \frac{3}{k} \\ - \frac{9}{10} = \frac{4}{3k} \\ k = - \frac{40}{27}$