Question

Как можно преобразовать cos(2x)-cos(4x) = 1 в 2cos^2 (2x) - cos(2x) = 0
Я уже все формулы перепробовал, что-то у меня не выходит, помогите пожалуйста.

Answer 1

Выведем одну из часто используемых формул. Конечно, её сразу можно применить и всё будет легко и просто преобразовать. На будущее, применяйте её сразу, это облегчит решение многих примеров.
Формула:   
                           $cos^2x=\frac{1-cos2x}{2}$  .
Решение:

$cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\; \; \Rightarrow \\\\\star \; \; \; \; \; \; \; \; \boxed{cos2x=2cos^2x-1}\\\\\star \star \; \; \; \; \; \; \boxed{2cos^2x=1+cos2x}\; \; \; \; \; \Rightarrow \\\\\star \star \star \; \; \; \boxed{cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}}$

Как видно, это одна и та же формула, просто выражены либо $cos^2x$  , либо $cos2x$  .  Формулу  (***) часто называют формулой трёх двоечек ( в этой формуле записано три 2) .
 Пример.

$cos2x-cos4x=1\quad \Rightarrow \\\\cos2x=\underbrace {1+cos4x}_{2cos^22x}\\\\cos2x=2cos^22x\\\\cos2x-2cos^22x=0\\\\cos2x\cdot (1-2cos2x)=0\\\\a)\; \; cos2x=0\; \; \to \; \; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in Z\\\\b)\; \; cos2x=\frac{1}{2}\; \; \to \; \; 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi m,\; m\in Z\\\\x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi m,\; m\in Z$

P.S.  Аналогично можно получить вторую формулу "трёх двоечек":

                         $sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$