Question

Напишите уравнение касательной и нормали к параболе y=x^2-2x+5 в точке абсцисса которой равна х=2

Answer 1

Скорее всего эта задача на применение производной. 
Координаты концов хорды (1,4) и (3,8), ее уравнение у=2х+2. (угловой коэф. =2) 
Найдем производную приравняем к 2 и найдем координату х точки касания, 
а дальше уравнение касательной в этой точке. 

Но мне всегда нравился вариант без производной. По определения касательной 
это предельное положение секущей (когда один из концов хорды стремится по 
параболе к другому) . Часто путают и говорят, что касательная пересекает график 
в одной точке. Это не верно, в одной точке его пересекают прямые || оси Oy, а касательная 
пересекает в двух совпавших точках. Алгебраически это означает следующие 
когда мы ищем точки точки пересечения некоторой прямой и параболы 
мы решаем систему 1 квадратного уравнения и 1 линейного, 
после подстановки все сводится к решению квадратного, Если дискриминат =0 
получаем два совпавших корня. Это лирическое отступление. а теперь решение. 

Уравнение касательная || хорде имеет у=2х+b (b и надо найти) 
Найдем точки пересечения, т. е решим систему 
y=x^2-2x+5, у=2х+b . Подставим у из второго в первое получим 
x^2-4x+5-b=0 выделим полный квадрат 
(x^2-4x+4)+1-b=0 
(x-2)^2 + (1-b) =0 
дискриминант будет =0 если b=1, т. е искомое уравнение у=2х+1 
(кстатит х=2 -- точка касания) .