Пирамида правильная, значит ее вершина проецируется в центр основания - точку О - центр описанной и вписанной окружностей.
SO=√13 (высота пирамиды - дана).
АВ=ВС=АС =6 (стороны основания - правильного треугольника - дано).
АН=(√3/2)*АВ (формула высоты правильного треугольника).
АН - высота, биссектриса и медиана =>
ОН=(1/3)*АН (свойство медианы).
Тогда
АН=(√3/2)*6=3√3.
ОН=(1/3)*3√3=√3.
SH=√(SO²-OH²)=√(13-3)=√10.
Sб=(1/2)*Р*SH =(1/2)*18*√10 (произведение полупериметра основания на высоту боковой грани (апофему).
Sб=9√10.
АН⊥ линии пересечения плоскостей .
АВ⊥ плоскости ⇒ ∠ABH=90°.
Расстояние от т. А до плоскости = АВ=а√3 .
ВН⊥ линии пересечения плоскостей .
∠АНВ=60° .
Найти АН .
ΔАВН - прямоугольный ⇒ АВ/sin60°=AH , АН=(a√3):(√3/2)=2a
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности находят по формуле R=a:√3, где а - сторона треугольника.
Р:3=18√3:3=6√3
R=6√3:√3=6
Сторона квадрата, описанного вокруг окружности, равна ее диаметру=2R
2R=12
Площадь квадрата S=12²=144 (ед. площади)
Треугольник АСЕ равнобедренный, с основанием АЕ (так как <A=<E). АЕ=(2/5)*АС (дано). Тогда периметр равен 2*АС+АЕ = 84 или 2*АС+(2/5)*АС=84. Отсюда АС = 35см. АЕ=(2/5)*35=14см.
Ответ: стороны треугольника 35см, 35см и 14см.
1) S(осн.) по формуле Герона = корень квадратный из 16(16-12)(16-10)(16-10)=48