1) (к-2р)/р=3
к/р-2р/р=3
к/р-2=3
к/р=5
значит р/к=1/5=0,2
Решение смотри на фотографии
Пусть p>1 общий делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k
Разложим k^4 + 12 * k^2 +12 = k (k^3 + 9k) + 3*k^2 + 12
Так как p делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k, то p должно быть делителем и 3*k^2 + 12.
То есть p делитель k^3+9k и 3*k^2 + 12.
Далее, заметим, что p = 3 подходит. При p = 3, существует k = 3, при котором выполняется условие задачи.
Если p простое и не равно 3, то можно поделить второе число на 3 (p делитель 3*k^2 + 12 и p<>3, следовательно p делитель k^2+4).
Получим, что p делитель k^3+9k и k^2 + 4.
Разложим k^3+9k = k (k^2+4) + 5k
Так как p делитель k^3+9k и k^2 + 4, то p делитель и 5k.
Значит, p общий делитель 5k и k^2+4.
Заметим, что p = 5 подходит. При p = 5, k =1 и выполняется условие задачи.
Если p простое и не равно 5, то т.к. p делитель 5k, то p делитель k.
Тогда p - делитель k и k^2+4.
Аналогично раскладываем k^2 + 4 = k* k + 4. Отсюда следует, что p должно быть делителем 4. То есть p может равняться 2. При p=2, k=2 условие задачи выполнено.
После очередного разложения у нас осталось два числа k и 4. Общий простой делитель p=2 мы уже рассмотрели.
Итак, всего есть три простых p: p=5, p=3, p = 2. Тогда ответ: наибольшее простое p = 5.
(x-2)(x+2)=(x+5)²+1
x²-4=x²+10x+25+1
x²-x²-10x=25+1+4
-10x=30
x=-3
Проверка:
(-3-2)(-3+2)=(-3+5)²+1
(-5)*(-1)=9+(-30)+25+1
5=5
