Question

Постройте график функции y=x^2-|4x+7| и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно 3 общие точки

Answer 1

Построим график функции $y=x^2-|4x+7|$

$\displaystyle y= \left \{ {{x^2-4x-7,\,\,\,\,\, if\,\,\,\,\,x \geq - \frac{7}{4} } \atop {x^2+4x+7\,\,\,\,\, if\,\,\,\,\, x\ \textless \ - \frac{7}{4} }} \right.$

Найдем координаты вершины параболы для следующих функций.
$y=x^2-4x-7$
$m=- \frac{b}{2a} = \frac{4}{2\cdot 1} =2\\ \\ y=2^2-4\cdot 2-7=4-8-7=-11$
(2;-11) - координаты вершины параболы функции $y=x^2-4x-7$

$y=x^2+4x+7$
$m=- \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2\cdot 1} =-2\\ \\ y=(-2)^2+4\cdot(-2)+7=4-8+7=3$
(-2;3) - координаты вершины параболы функции $y=x^2+4x+7$

y = m - прямая, параллельная оси Ох.

Не трудно заметить, что при m=3, графики пересекаются в трёх точках.
$y(- \frac{7}{4} )=(- \frac{7}{4})^2-|4\cdot ( -\frac{7}{4})+7|= \frac{49}{16}$
Ответ: m=3 и m=49/16.

Answer 2

X²-|4x+7|    4x+7=0    x=-7/4
x≤-7/4  x²+4x+7  x0=-4/2=-2   y0=4-8+7=3
y(-7/4)=49/16-7+7=49/16=3.0625
таким образом, ровно 3 решения при  y=3  y=3.0625, то есть при
m1=3;m2=3.0625  
замечание - при m таких что m1<m<m2 имеем 4 решения.