Слово пресс-папье в русский язык пришло из французского ( французское слово presse-papiers является сложным, papier в переводе на русский язык значит бумага, а французский глагол presser имеет значение "нажимать" ).
Пресс-папье является ничем иным, как прессом для бумаг на письменном столе, чтобы они не разлетались, а лежали ровной стопкой.
В русском языке данное слово относится к именам существительным неодушевленным среднего рода, а поскольку оно заимствованное, то по падежам и числам не изменяется, другими словами не склоняется.
Пресс-папье это форма единственного и множественного числа.
Именительный падеж ( что? ) - пресс-папье,
Родительный ( чего? ) - пресс-папье,
Винительный ( что? ) - пресс-папье,
Дательный ( чему? ) - пресс-папье,
Творительный ( чем? ) - пресс-папье,
Предложный ( о чем? ) - о пресс-папье.