Question

Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающего

ся края пластинки. Где находится ее центр тяжести?

Answer 1

Пусть пластина имеет плотность ρ и толщину d.  Тогда масса целой пластины :  m = ρV = ρπR²d

Масса вырезанной части пластины

$\tt m_1=\rho V_1=\rho \pi \bigg(\dfrac R2\bigg)^2d=\dfrac14\cdot\rho \pi R^2d$

Масса оставшейся части пластины  

$\tt m_2=m-m_1=\bigg(1-\dfrac 14\bigg)\rho \pi R^2d=\dfrac 34\rho \pi R^2d$

Центр тяжести заштрихованной части пластины находится на прямой, проходящей через центры кругов в силу симметричности.

Так как центр тяжести целой пластины находится в центре круга, то задачу можно решить, уравняв моменты сил тяжести двух частей пластины относительно центра круга.

$\tt m_1g\cdot l_1=m_2g\cdot l_2;\\\\\dfrac 14\rho \pi R^2dg\cdot \dfrac R2=\dfrac 34\rho \pi R^2dg\cdot x~~~\Big|:\rho \pi R^2dg\\\\\dfrac 14\cdot \dfrac R2=\dfrac 34\cdot x;~~~~\boxed{\boldsimbol{x=\dfrac R6}}$

Ответ : центр тяжести закрашенной части пластины находится на прямой, проходящей через центры кругов, на расстоянии R/6 от центра целой пластины.