Нужно воспользоваться формулой куба суммы:
(а+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Так же следует помнить, что √(-1) = i или i²=-1
В связи с этим:
(53+63i)³=53³+3*53²*(63i)+3*53*(63i)²+(63i)³=
i²=-1
i³=i²*i=-1*i=-i
=148877+530901*i+159*63²*(-1)+63³*(-i)=
<span>=148877+530901*i-631071-i*250047
Приведём подобные:
</span>148877-631071+530901*i-i*250047=-482194+280854i
Ответ:<span>-482194+280854i.</span>
Множество целых чисел
![\mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbb%7BZ%7D)
разделим на три класса:
![\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbb%7BZ%7D+%3D+%5Cmathbb%7BZ%7D_0+%2B+%5Cmathbb%7BZ%7D_1+%2B+%5Cmathbb%7BZ%7D_2)
, где + обозначает операцию объединения и изначает, что множества
![\mathbb{Z}_0,\mathbb{Z}_1,\mathbb{Z}_2,](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbb%7BZ%7D_0%2C%5Cmathbb%7BZ%7D_1%2C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C)
дисъюнктны.
![\mathbb{Z}_0 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3}\}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cmathbb%7BZ%7D_0+%3D+%5C%7Ba+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%7C+%5Cexists%7Bb+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%3A+a+%3D+b%2A3%7D%5C%7D+)
![\mathbb{Z}_1 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+1}\}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cmathbb%7BZ%7D_1+%3D+%5C%7Ba+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%7C+%5Cexists%7Bb+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%3A+a+%3D+b%2A3%2B1%7D%5C%7D+)
![\mathbb{Z}_2 = \{a \in \mathbb{Z} | \exists{b \in \mathbb{Z}: a = b*3+2}\}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cmathbb%7BZ%7D_2+%3D+%5C%7Ba+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%7C+%5Cexists%7Bb+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%3A+a+%3D+b%2A3%2B2%7D%5C%7D+)
Данное разделение множества целых чисел существует по принципу решета Эрастофена.
![x \equiv 0\ \ (mod 6) \Leftrightarrow x \equiv 0 \ \ (mod 2) \land x \equiv 0 \ \ (mod3)](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cequiv+0%5C+%5C+%28mod+6%29+%5CLeftrightarrow+x+%5Cequiv+0+%5C+%5C+%28mod+2%29+%5Cland+x+%5Cequiv+0+%5C+%5C+%28mod3%29)
![x^3 + 41x = x(x^2 + 41)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E3+%2B+41x+%3D+x%28x%5E2+%2B+41%29)
.
Так как при четном x выражение делится на два, а при нечетном
![x^2 + 41](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2+%2B+41)
делится на два (сумма нечетных чисел четна), то есть выражение все равно делится на два, первое условие выполнено. Докажем, что x делится на 3:
Так как
![x \in \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_0 + \mathbb{Z}_1 + \mathbb{Z}_2](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%3D+%5Cmathbb%7BZ%7D_0+%2B+%5Cmathbb%7BZ%7D_1+%2B+%5Cmathbb%7BZ%7D_2)
, то рассмотрим три случая:
1)
![x \in \mathbb{Z}_0 \Rightarrow x^3 + 41x \equiv 0 \ \ (mod 3)](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D_0+%5CRightarrow+x%5E3+%2B+41x+%5Cequiv+0+%5C+%5C+%28mod+3%29)
так как
![x^3 + 41x = x(x^2+41)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E3+%2B+41x+%3D+x%28x%5E2%2B41%29)
.
2)
![x \in \mathbb{Z}_1 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 1}](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D_1+%5CRightarrow+%5Cexists%7Bb+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%3A+x+%3D+3b+%2B+1%7D)
![x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 1 + 41 = 3*m + 42 = 3*n](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2+%2B+41+%3D+%283b%29%5E2+%2B+2%2A%283b%29%2A41+%2B+1+%2B+41+%3D+3%2Am+%2B+42+%3D+3%2An)
для каких-то
![m,n \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=m%2Cn+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D)
, то есть
![x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E3%2B41x+%5Cequiv+0+%5C+%5C+%28mod+3%29)
.
3)
![x \in \mathbb{Z}_2 \Rightarrow \exists{b \in \mathbb{Z} : x = 3b + 2}](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D_2+%5CRightarrow+%5Cexists%7Bb+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%3A+x+%3D+3b+%2B+2%7D)
.
![x^2 + 41 = (3b)^2 + 2*(3b)*41 + 4 + 41 = 3m + 45 = 3n](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2+%2B+41+%3D+%283b%29%5E2+%2B+2%2A%283b%29%2A41+%2B+4+%2B+41+%3D+3m+%2B+45+%3D+3n)
для каких-то
![m,n \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=m%2Cn+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D)
, то есть
![x^3+41x \equiv 0 \ \ (mod 3)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E3%2B41x+%5Cequiv+0+%5C+%5C+%28mod+3%29)
.
Тогда для всех
![x \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D)
выражение
![x^3+41x](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E3%2B41x)
делится на 6.
Решение:
1) = -10y в 7 степени.
Сперва мы умножили 5 на (-2), получили -10
Суммируем степени у ( 3+4), и получаем y в 7 степени
2) = 3z в 8 степени.
То же самое, умножаем 0,5 на 6 получили 3
И суммировали все z (1+3+4) получаем z в 8 степени
Можно сначала разложить число 12 на слагаемые всеми возможными способами:
1 и 11,2 и 10,3 и 9,4 и 8,5 и 7,6 и 6.
Потом из этого ряда выбрать те слагаемые,которые при умножении будут давать 35.
Это числа 5 и 7!