X^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0
Найдем значения многочлена в целых точках:
y(0) = 1 > 0
y(1) = 1 + 24 - 10 + 21 - 65 + 1 = 47 - 75 = -28 < 0
x1 ∈ (0; 1)
y(2) = 32 + 24*16 - 10*8 + 21*4 - 65*2 + 1 = 291 > 0
x2 ∈ (1; 2)
y(-1) = -1 + 24 + 10 + 21 + 65 + 1 = 120 > 0
y(-2) = -32 + 24*16 + 10*8 + 21*4 + 65*2 + 1 = 647 > 0
...
y(-24) = -7962624+24*331776+138240+21*576+65*24+1 = 151897 > 0
y(-25) = -9765625+24*390625+156250+21*625+65*25+1=-219624 < 0
x3 ∈ (-25; -24)
Дальше надо уточнять.
y(0,1) = 0,00001+24*0,0001-10*0,001+21*0,01-65*0,1+1 = -5,29759 < 0
y(0,02)=(0,02)^5+24(0,02)^4-10(0,02)^3+21(0,02)^2-65*0,02+1 = -0,29 < 0
y(0,01)=(0,01)^5+24(0,01)^4-10(0,01)^3+21(0,01)^2-65*0,01+1 = 0,352 > 0
x1 ∈ (0,01; 0,02)
y(0,015) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,03 ≈ 0
x1 ≈ 0,015
y(1,3) = (1,3)^5 + 24(1,3)^4 - 10(1,3)^3 + 21(1,3)^2 - 65*1,3 + 1 = 2,28 > 0
y(1,28) = (1,28)^5+24(1,28)^4-10(1,28)^3+21(1,28)^2-65*1,28 + 1 = -0,9 < 0
y(1,29) = (1,29)^5+24(1,29)^4-10(1,29)^3+21(1,29)^2-65*1,29 + 1 = 0,663 > 0
x2 ∈ (1,28; 1,29)
y(1,286) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,03 ≈ 0
x2 ≈ 1,286
y(-24,5) = -24,5^5+24*24,5^4+10*24,5^3+21*24,5^2+65*24,5+1 = -18890 < 0
y(-24,4) = -24,4^5+24*24,4^4+10*24,4^3+21*24,4^2+65*24,4+1 = 17576 > 0
y(-24,45) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -509 < 0
y(-24,448) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 220 > 0
y(-24,449) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -144 < 0
x ∈ (-24,448; -24,449)
Но числа еще достаточно далеко от 0, нужно уточнять дальше.
y(-24,4486) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 1,686 > 0
y(-24,44861) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -1,959 < 0
y(-24,448605) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -0,13 < 0
y(-24,448604) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,23 > 0
y(-24,4486045) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,046 ≈ 0
x ≈ -24,4486045
ОДЗ: ![x>0, \quad y>0.](https://tex.z-dn.net/?f=x%3E0%2C%20%5Cquad%20y%3E0.)
Сделаем замены
. Получим систему:
![\begin{cases}u+v=5\\uv=4 \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Du%2Bv%3D5%5C%5Cuv%3D4%20%5Cend%7Bcases%7D)
Пользуясь обратной теоремой Виета, составим квадратное уравнение:
![z^2-5z+4=0\\D=(-5)^2-4 \cdot 4=25-16=9\\\sqrt{D}=3\\z_1=\dfrac{5+3}{2}=4, \qquad z_2=\dfrac{5-3}{2}=1](https://tex.z-dn.net/?f=z%5E2-5z%2B4%3D0%5C%5CD%3D%28-5%29%5E2-4%20%5Ccdot%204%3D25-16%3D9%5C%5C%5Csqrt%7BD%7D%3D3%5C%5Cz_1%3D%5Cdfrac%7B5%2B3%7D%7B2%7D%3D4%2C%20%5Cqquad%20z_2%3D%5Cdfrac%7B5-3%7D%7B2%7D%3D1)
Следовательно:
![u_1=4, \qquad v_1=1\\u_2=1, \qquad v_2=4](https://tex.z-dn.net/?f=u_1%3D4%2C%20%5Cqquad%20v_1%3D1%5C%5Cu_2%3D1%2C%20%5Cqquad%20v_2%3D4)
Вернёмся к исходным переменным. Сначала разберём первый случай с
:
![\sqrt{x}=4 \quad \Rightarrow \quad x=16\\\sqrt y = 1 \quad \Rightarrow \quad y=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bx%7D%3D4%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20x%3D16%5C%5C%5Csqrt%20y%20%3D%201%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20y%3D1)
Второй вариант, очевидно, будет симметричен (получится перестановкой переменных): ![x=1, \quad y=16.](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D1%2C%20%5Cquad%20y%3D16.)
Ответ: (1; 16) и (16; 1).
Cos2x + 2 = 0
cos2x = -2
Нет корней, т.к. косинус аргумента принадлежит отрезку [-1; 1].
sin4x = 0
4x = πn, n ∈ Z
x = πn/4, n ∈ Z.
2sin(x/2) + 1 = 0
sin(x/2) = -1/2
x/2 = (-1)ⁿ+¹π/6 + πn, n ∈ Z
x = (-1)ⁿ+¹π/3 + πn, n ∈ Z.
2cos2x - 1 = 0
cos2x = 1/2
2x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
x = ±π/6 + πn, n ∈ Z
2tg²x - tgx = 0
tgx(2tgx - 1) = 0
tgx = 0
x = πn, n ∈ Z.
2tgx - 1 = 0
tgx = 1/2
x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z.