<span>y=log2(2+2x-x^2)-2
y'=1/((2+2x-x^2)*ln2)*(2-2x)
y'=0
</span>(2/ln2)*(1-x)/(2+2x-x^2)=0
ОДЗ:2+2x-x^2≠0
x≠1-√3, x≠1+√3
1-x=0
x=1
строим эти 3 точки на числовой прямой и смотрим знаки производной, там где производная положительна функция возрастает, там же где производная отрицательна функция убывает.
получилось, что точки x=1-√3, x=1+√3 - точки минимума,
а вот точка максимума - х=1
Максимальное значение функции достигается в этой точке:
y(1)=(ln3/ln2)-2
6.
1. y=x²+1, y=0, x=0, x=4.
S=₀∫⁴(x²+1-0)dx=(x³/3+x) ₀|⁴=4³/3+4=64/3+4=21¹/₃+4=25¹/₃.
Ответ: S≈25,33 кв. ед.
2. x-2y+4=0, y=5-x, y=0. 2y=x+4 y=(x+4)/2=x/2+2.
5-x=0
x₁=5
x-2*(5-x)+4=0
x-10+2x+4=0
3x-6=0
3x=6 |÷3
x₂=2
x-2*0+4=0
x+4=0
x₃=-4.
S₁=₋₄∫²(x/2+2-0)dx=₋₄∫²(x/2+2)dx=(x²/4+2x) ₋₄|²=
=(2²/4+2*2-(-4)²/4-2*(-4)=1+4-4+8=9.
S₂=₂∫⁵(5-x-0)dx=₂∫⁵(5-x)dx=(5x-x²/2) ₂|⁵=5*5-5²/2-5*2+2²/2=25-12,5-10+2=4,5.
S=S₁+S₂=9+4,5=13,5.
Ответ: S=13,5 кв.ед.
3. y=x³/3, y=0, x=-2, x=2.
x³/3=0
x=0
S=S₁+S₂=₋₂∫⁰(0-x³/3)dx+₀∫²(x³/3-0)dx=(-x⁴/12) ₋₂|⁰+x⁴/12) ₀|²=
=0-(-(-2)⁴)/12+2⁴/12-0=16/12+16/12=32/12=8/3.
Ответ: S=8/3 кв. ед.
4. y=-x², y=2x
x²=2x
x²-2x=0
x*(x-2)=0
x₁=0 x₂=2
S=₀∫²(2x-x²)dx=(x²-x³/3) ₀|²=2²-2³/3=4-8/3=4-2²/₃=1¹/₃=4/3
Ответ: S=4/3 кв. ед.
5. 9y+7x²+9=0, y=(-5x²/9)-3 9y=-7x²-9 |÷9 y=-(7x²/9)-1
9*((-5x²/9)-3)+7x²+9=0
-5x²-27+7x²+9=0
2x²-18=0 |÷2
x²=9
x₁=-3 x₂=3.
S=₋₃∫³((-7x²/9)-1-((-5x²*9)-3))dx=₋₃∫³((-7x²/9)-1+(5x²/9)+3)dx=₋₃∫³(2-2x²/9)dx=
=2*₋₃∫³(1-x²/9)=2*(x-x³/27) ₋₃|³=2*(3-3³/27-((-3)-(-3)³/27)=
=2*((3-1)-(-3+1))=2*(2+2)=2*4=8.
Ответ: S=8 кв. ед.
Находим первую производную функции:
y' =( x^2)*(e^x) + 2x*(e^x)
или
y' = x(x+2)*(e^x)
Приравниваем ее к нулю:
x(x+2)*(e^x)<span> = 0</span>
x1<span> = - 2</span>
x2<span> = 0</span>
<span>Вычисляем значения функции </span>
f(-2) = 4/(e^2)
f(0) = 0
Ответ:
fmin<span> = 0, f</span>max<span> = 4/(e^</span>2)
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = (x^2)*(e^x) + 4x*(e^x) + 2*(e^x)
или
y'' = (x^2 + 4x + 2)*(e^x)
Вычисляем:
y''(-2) = -2/(e^2) < 0 - значит точка x = -2 точка максимума функции.
<span>y''(0) = 2 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.</span>
