Question

Ну пожалуйста :(((((

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .

Answer 1

Пусть S - сумма начального долга. Каждый месяц долг должен уменьшаться на одинаковую сумму, т.к. месяцев 12, то каждый месяц он уменьшается на S/12. Если в конце первого месяца заплатили $x_1$, то получим
$S(1+r/100)-x_1= \frac{11}{12}S$, т.е.  $x_1=\frac{S(1+12r/100)}{12}$.
Во второй месяц  оплата была $x_2$ и уравнение будет
$\frac{11}{12}S(1+r/100)-x_2= \frac{10}{12}S$, т.е.  $x_2=\frac{S(1+11r/100)}{12}$ и т.д. В $k$-ый месяц сумма выплат будет равна $x_k=\frac{S(1+(13-k)r/100)}{12}$. Суммируя эту арифметическую прогрессию по k=1,2,...,12, получим, что общие выплаты по кредиту составили S(1+13r/200), что по условию равно 1,13S. Отсюда r=2%.