Question

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.

Помогите, пожалуйста.

Answer 1

$b_1,$ $b_2,$ $b_3$ - геометрическая прогрессия
$b_1,$ $b_2+2,$ $b_3$ - арифметическая прогрессия
$b_1,$ $b_2+2,$ $b_3+9$ - геометрическая прогрессия

Воспользуемся свойствами арифметической и геометрической прогрессии:
$b_n= \frac{b_{n-1}+b_{n+1}}{2} ,$  $n\ \textgreater \ 1$
$b_n^2=b_{n-1}*b_{n+1}$

$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {(b_2+2)^2=b_1*(b_3+9)}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2^2+4b_2+4=b_1*b_3+9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2^2+4b_2+4=b_2^2+9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {4b_2+4=9b_1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {4b_2=9b_1-4}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2+2= \frac{b_1+b_3}{2} \atop {b_2=2.25b_1-1}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {2.25b_1-1+2= \frac{b_1+b_3}{2}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {4.5b_1+2= {b_1+b_3}{}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {3.5b_1+2=b_3}{}}} \atop {b_2^2=b_1*b_3}} \right.$
$\left \{ {{b_2=2.25b_1-1 \atop {b_3=3.5b_1+2}{}}} \atop {(2.25b_1-1)^2=b_1*(3.5b_1+2)}} \right.$
$(2.25b_1-1)^2=b_1*(3.5b_1+2)$
$5.0625b_1^2+1-4.5b_1=3.5b_1^2+2b_1$
$5.0625b_1^2+1-4.5b_1-3.5b_1^2-2b_1=0$
$1.5625b_1^21-6.5b_1+1=0$
$6.25b_1^21-26b_1+4=0$
$D=26^2-4*6.25*4=576=24^2$
$b_1= \frac{26+24}{12.5}=4$
$b'_1= \frac{26-24}{12.5}=0.16$

$b_1=4,$   $b_2=2.25*4-1=8,$  $b_3=3.5*4+2=16$
$b'_1=0.16,$  $b'_2=2.25*0.16-1=-0.64,$ $b'_3=3.5*0.16+2=2.56$

Answer 2

Пусть наши числа 

а,в,с

так как они образуют геометрическую прогрессию
 то их можно записать как  a. a*q. a*q²

1) второе число увеличили на 2

а, a*q+2, a*q² и теперь это арифметическая прогрессия

в арифметической прогрессии разность последовательных членов прогрессии равны, запишем это

$\displaystyle aq+2-a=aq^2-aq-2 2+2=aq^2-2aq+a 4=a(q^2-2a+1) 4=a(q-1)^2$

$\displaystyle a= \frac{4}{(q-1)^2}$

2) третье число увеличили на 9

a. aq+2. aq²+9

получили геометрическую прогрессию

отношение последовательных членов равно, запишем это

$\displaystyle \frac{aq+2}{a}= \frac{aq^2+9}{aq+2}$

$\displaystyle (aq+2)^2=a(aq^2+9) (aq)^2+4aq+4=(aq)^2+9a 4=9a-4aq 4=a(9-4q)$

$\displaystyle a= \frac{4}{9-4q}$

из первого и второго условия мы выразили а

$\displaystyle \frac{4}{(q-1)^2}= \frac{4}{9-4q} (q-1)^2=9-4q q^2+2q-8=0 q_1=2; q_2=-4$

теперь все просто: найдем а

$\displaystyle a= \frac{4}{(q-1)^2} a_1=4; a_2= \frac{4}{25}$

тогда 

a=4. b=8. c=16

a=4/25. b=-16/25. c= 64/25