Так как AK - биссектриса, то:
![\frac{BK}{AB}= \frac{KC}{AC} \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \frac{BK}{KC}= \frac{AB}{AC}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BBK%7D%7BAB%7D%3D+%5Cfrac%7BKC%7D%7BAC%7D++%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C++%5Cfrac%7BBK%7D%7BKC%7D%3D+%5Cfrac%7BAB%7D%7BAC%7D+)
при делении точкой отрезка на 2 части, относящиеся как m к n, есть формула для вычисления координат этой точки:
![x= \frac{x_1+\lambda*x_2}{1+\lambda} \\y= \frac{y_1+\lambda*y_2}{1+\lambda} \\\lambda= \frac{m}{n}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7Bx_1%2B%5Clambda%2Ax_2%7D%7B1%2B%5Clambda%7D%0A%5C%5Cy%3D+%5Cfrac%7By_1%2B%5Clambda%2Ay_2%7D%7B1%2B%5Clambda%7D%0A%5C%5C%5Clambda%3D+%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D+)
ищем длины AB и AC:
используем формулу:
![|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%7CAB%7C%3D%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2%2B%28y_1-y_2%29%5E2%7D)
![|AB|=\sqrt{(-2-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5 \\|AC|=\sqrt{(-2-10)^2+5^2}=\sqrt{169}=13](https://tex.z-dn.net/?f=%7CAB%7C%3D%5Csqrt%7B%28-2-2%29%5E2%2B%285-2%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B16%2B9%7D%3D5%0A%5C%5C%7CAC%7C%3D%5Csqrt%7B%28-2-10%29%5E2%2B5%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B169%7D%3D13)
![\frac{BK}{KC}= \frac{AB}{AC}= \frac{5}{13} =\lambda](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BBK%7D%7BKC%7D%3D+%5Cfrac%7BAB%7D%7BAC%7D%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D+%3D%5Clambda)
находим координаты точки K:
![x_1=2;\ x_2=10;\ y_1=2;\ y_2=0;\ \lambda=\frac{5}{13} \\ \\K( \frac{2+ \frac{5}{13}*10 }{1+\frac{5}{13}} ;\frac{2+ \frac{5}{13}*0 }{1+\frac{5}{13}})=K( \frac{2+ \frac{50}{13} }{ \frac{18}{13}}; \frac{2}{ \frac{18}{13} })=K( \frac{ \frac{76}{13} }{ \frac{18}{13}}; \frac{26}{18} )=K( \frac{76}{18}; \frac{26}{18}) = \\=K( \frac{38}{9}; \frac{13}{9})=K(4 \frac{2}{9};1 \frac{4}{9} )](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D2%3B%5C+x_2%3D10%3B%5C+y_1%3D2%3B%5C+y_2%3D0%3B%5C+%5Clambda%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%0A%5C%5C%0A%5C%5CK%28+%5Cfrac%7B2%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%2A10+%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%7D+%3B%5Cfrac%7B2%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%2A0+%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B13%7D%7D%29%3DK%28+%5Cfrac%7B2%2B+%5Cfrac%7B50%7D%7B13%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B18%7D%7B13%7D%7D%3B+%5Cfrac%7B2%7D%7B+%5Cfrac%7B18%7D%7B13%7D+%7D%29%3DK%28+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B76%7D%7B13%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7B18%7D%7B13%7D%7D%3B+%5Cfrac%7B26%7D%7B18%7D++%29%3DK%28+%5Cfrac%7B76%7D%7B18%7D%3B+%5Cfrac%7B26%7D%7B18%7D%29+%3D%0A%5C%5C%3DK%28+%5Cfrac%7B38%7D%7B9%7D%3B+%5Cfrac%7B13%7D%7B9%7D%29%3DK%284+%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%3B1+%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D+%29)
теперь определим вид треугольника для этого используем теорему косинусов:
для начала найдем длину BC:
![|BC|=\sqrt{(2-10)^2+2^2}=\sqrt{68}](https://tex.z-dn.net/?f=%7CBC%7C%3D%5Csqrt%7B%282-10%29%5E2%2B2%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B68%7D)
вид треугольника будем определять по косинусу самого большого угла; если cos<0, то угол тупой; если cos=0, то угол прямой; если cos>0, то угол острый.
Против большей стороны лежит больший угол, поэтому запишем теорему косинусов для AC и косинуса угла B
![AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosB \\2*AB*BC*cosB=AB^2+BC^2-AC^2 \\cosB= \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2*AB*BC}](https://tex.z-dn.net/?f=AC%5E2%3DAB%5E2%2BBC%5E2-2%2AAB%2ABC%2AcosB%0A%5C%5C2%2AAB%2ABC%2AcosB%3DAB%5E2%2BBC%5E2-AC%5E2%0A%5C%5CcosB%3D+%5Cfrac%7BAB%5E2%2BBC%5E2-AC%5E2%7D%7B2%2AAB%2ABC%7D+)
подставим значения:
![cosB= \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2*AB*BC}= \frac{25+68-169}{2*5*\sqrt{68}}= \frac{-76}{10\sqrt{68}} =- \frac{76}{10\sqrt{68}}](https://tex.z-dn.net/?f=cosB%3D+%5Cfrac%7BAB%5E2%2BBC%5E2-AC%5E2%7D%7B2%2AAB%2ABC%7D%3D+%5Cfrac%7B25%2B68-169%7D%7B2%2A5%2A%5Csqrt%7B68%7D%7D%3D+%5Cfrac%7B-76%7D%7B10%5Csqrt%7B68%7D%7D++%3D-+%5Cfrac%7B76%7D%7B10%5Csqrt%7B68%7D%7D+)
cosB<0 поэтому угол тупой и треугольник тупоугольный
Ответ:
![K(4 \frac{2}{9};1 \frac{4}{9} );\](https://tex.z-dn.net/?f=K%284+%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%3B1+%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D+%29%3B%5C+)
треугольник тупоугольный