Question

Найдите сумму числового ряда???????

Answer 1

Найти сумму числового ряда ∑ 2/(4n² + 16n + 15).

Решение:

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{2}{4n^2+16n+15}=2\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{4n^2+16n+15}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{2}{(2n+3)(2n+5)}=\\ \\ \\ =\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(2n+5)-(2n+3)}{(2n+3)(2n+5)}=\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+5}$

Частичная сумма числового ряда : $S_n=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2n+5}$.

Переходя к пределу при $n \to \infty$, найдем сумму.

$\displaystyle S= \lim_{n \to \infty}S_n= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+5}\right)=\frac{1}{5}$

Ответ: 1/5.