Предложу вариант решения без дополнительных построений. По свойству медианы пр. треугольника, проведенной из вершины прям. угла, она равна половине гипотенузы, из чего следует, что треугольник СМВ равнобедренный, и стало быть, ∠МСВ = ∠МВС. В этом случае ∠СМВ = (180° - 2*55°) = 70°.
Теперь перейдем к прямоугольному треугольнику МСН, содержащему искомый нами одноименный угол. В нем ∠МНС - прямой, то бишь равен 90°, ∠СМН мы уже нашли (он совпадает с углом СМВ), он оказался равным 70°. Осталась самая малость - вычесть из 180° (суммы углов любого треугольника) градусную меру двух уже известных нам углов.
∠МСН = (180° - 90° - 70°) = 20°.
Решение будет такое. На первом ходу ладья объявляет шах чёрному королю: 1. Лf4-g4+. Сейчас, если король отходит на поле h7 , то следует ход: 2. Лg4-g6, и через ход следует мат. Если король отходит на поле h8, то следует мат в один ход: 2. Фh5:h6х. Если чёрные на первом ходу забирают ладью своей пешкой, то следует мат чёрному королю в два хода: 1. ... f5:g4 2. Фh5-g6+ Крg7-h8 3. Фg6-h7х.
Решение будет таким. На первом ходу белые жертвуют ферзя на поле а8, затем белая ладья объявляет шах чёрному королю на поле с8. Чёрным брать эту ладью не выгодно, так как на поле с8 у белых появится ферзь после взятия чёрного ферзя белой пешкой. Поэтому чёрные защищаются от шаха своей ладьёй на поле g8. Белые забирают чёрного ферзя, и после того, как чёрные заберут белую ладью на поле а8, следует ход белой пешечки на поле е6, и чёрные должны сдаться, так как белые неминуемо ставят ферзя. В шахматной нотации это будет выглядеть так: 1. Фd5:a8 Фd8:а8 2. Лс1-с8+ Лg5-g8 (если 2. ... Фа8:с8, то 3. d7:с8Ф+) 3. Лс8:а8 Лg86а8 4. е5-е6 и через ход белые ставят ферзя на поле d8 или е8.
Белые жертвой ферзя ставят мат чёрному королю. 1. Фe2:h5 Кf6:h5 2. Кe5:f7 - с двойным шахом и матом. Чтобы не получить мат, чёрные, конечно, могут не брать белого ферзя. Но тогда, во-первых, белые остаются просто с лишней фигурой, а во-вторых, и это главное, белые угрожают поставить мат чёрному королю в два хода 2. Фh5:h6+ Кf6-h7 3. Фh6:h7х (а можно и 3. Кe5:f7 - с двойным шахом и матом).
Белые начинают и дат мат в три хода. 1. Лf3-f8+ Фe8:f8 2. Лf1:f8+ Ла8:f8 3. Фh6:g6х.