Question

Как решить 19 задание в ЕГЭ Математика профиль 2016?

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее ар. оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифм. чисел, которые остались на доске.

Answer 1

Так как числа натуральные, то после того, как их каждое уменьшили вдвое, меньше 1 станут только те, которые и были равны 1.

Допустим наш ряд состоял из 25-ти единиц, 25, 40, 40, 40 и 40:

сумма чисел ряда равна 210,

среднее арифметическое ряда 210 / 30 = 7,

после деления каждого числа на 2 и сокращения чисел, которые стали меньше единицы, наш ряд уменьшится до 5 чисел: 12,5; 20; 20; 20; 20,

а их среднее арифметическое станет равным 18,5.

Следовательно, ответ на а) - ДА: 18,5 > 14

и ( кстати, число 18,5 - ответ на в) )

Ну, и наконец, ответ на б):

чисто теоретически, к примеру, число 12,7 с одной стороны меньше, чем 18,5, а с другой стороны, если бы ряд состоял из одних семёрок, то после деления чисел этого ряда на 2, среднее арифметическое нового ряда было равно 3,5, что в свою очередь меньше 12,7.

Но на то и математика, чтобы считать ;-)

Возьмём ряд состоящий из шести чисел 28, из 23-ёх единиц и числа 19:

сумма ряда составляет 210, а после деления чисел этого ряда на 2 и сокращения чисел меньше единицы получим ряд состоящий из шести чисел 14 и одного числа 9,5 - всего 7 чисел, сумма которых равна 89,5.

Среднее арифметическое чисел полученного ряда равно 89,5 / 7 = 12,785... - это число как раз больше 12, но меньше 13.

В общем, ответ на б) - ДА: 12 < 12,785 < 13

Answer 2

Максимальная сумма 30 чисел не превышающих 40 будет 30*40=1200, минимальная сумма из одних единиц может быть 30 . Если все числа уменьшить вдвое, то максимальная сумма может быть 600. а)чтобы среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске оказалось больше 14 их сумма должна быть больше 29*14=406, что может быть. б) из а) следует что среднее ар. оставшихся на доске чисел может оказаться больше 12, но не может оказалось меньше 13, так как минимальная сумма чисел не может быть меньше 30. в) наибольшее возможное значение среднего арифм. чисел, которые остались на доске 1200/30=40.