Question

Помогите найти условный экстремум функции методом множителей Лагранжа z=xy, условие: 2x-y=4

Answer 1

Ответ:

(x, y) = (1, -2); z(1, -2) = -2 – условный минимум

Пошаговое объяснение:

Вводим функцию Лагранжа $L(x,y,\lambda)=z(x,y)-\lambda(2x-y-4)$

В точке экстремума частные производные равны 0. Совместно с условием связи получаем систему

$\begin{cases}\dfrac{\partial L}{\partial x}=y-2\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=x+\lambda=0\\2x-y=4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=-2\\\lambda=-1\end{cases}$

То, что найденная точка – действительно экстремум, можно убедиться, например, так. Из уравнения связи $dy=2dx$, находим второй дифференциал функции z:

$d^2z=2\,dx\,dy=4(dx)^2>0$ при $dx\ne0$. Значит, найденное значение – точка условного минимума