Question

1. Постройте график функции $y=(x-2) ^{ \frac{3}{2} } -1$ и опишите её свойства.
2. Решите графически систему уравнений $\left \{ {{y=(x-2) ^{ \frac{3}{2} }-1 } \atop {y=3-x}} \right.$

Answer 1

1.
$1. x-2 \geq 0, x \geq 2; \\ D_y=[2;+\infty);$
$2. (x-2)^\frac{3}{2} \geq 0,\\ (x-2)^\frac{3}{2} -1\geq -1,\\ y \geq -1;\\ E_y=[-1;+\infty);$
3. Функция общего вида.
$4. x=0\notin D_y, \\ y=0, (x-2)^\frac{3}{2}-1 = 0,\\ (x-2)^\frac{3}{2} = 1,\\ x-2=1, \\ x=3, \\ (3;0)$
$5. y\gtrless 0,(x-2)^\frac{3}{2}-1 \gtrless 0,\\ x\gtrless 3,\\ x<3, x\in[2;3), y<0, \\ x>3, x\in(3;+\infty), y>0;$
$6. y'=((x-2)^\frac{3}{2} - 1)'=\frac{3}{2}(x-2)^\frac{1}{2}; \\ y''=(\frac{3}{2}(x-2)^\frac{1}{2})'= \frac{3}{4(x-2)^\frac{1}{2}} ;$
$7. y'=0, \frac{3}{2}(x-2)^\frac{1}{2}=0\\ x=2;$
$8. y' \gtrless 0, \frac{3}{2}(x-2)^\frac{1}{2}\gtrless 0, \\ y' \geq 0, x\in D_y;$
Функция возрастает на всей области определения.
$9. y''\gtrless 0, \frac{3}{4(x-2)^\frac{1}{2}}\gtrless 0, \\ \frac{3}{4(x-2)^\frac{1}{2}}>0, \\ y''>0, x\in D_y;$
Функция вогнута вниз на всей области определения.
2. (3;0)