Question

(1+tgx + tg²x + ... + tgⁿx+...)/(1-tgx+tg²x-...+(-1)ⁿtgⁿx+...)=1+sin2x, |tgx|<1

Answer 1

По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = b1/(1-q), где b1=1, имеем, что

$\displaystyle \frac{ \dfrac{1}{1-tgx} }{ \dfrac{1}{1+tgx} } =1+\sin2x;~~~~~~~ \frac{1+tgx}{1-tgx}=1+\sin2x\\ \\ \\ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} =1+\sin2x;~~~ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} -(\cos x+\sin x)^2=0\\ \\ (\cos x+\sin x)\cdot \bigg( \frac{1}{\cos x-\sin x} -(\cos x+\sin x)\,\bigg)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$\cos x+\sin x=0|:\cos x\ne0\\ tgx=-1$
Отсюда видно, что не подходит условию.

$\displaystyle \frac{1}{\cos x-\sin x} -(\cos x+\sin x)=0$
Умножив последнее уравнение на $\cos x-\sin x\ne 0$, находим $\cos 2x=1,$
$2x=2 \pi n,~~x=\pi n,n \in \mathbb{Z}$

ОТВЕТ: $\pi n,n \in \mathbb{Z}$