Question

Ранее задавался вопрос (x+2y)y`=1

Answer 1

Умножая левую и правую части на интегрирующий множитель

$\mu (y)=e^{-\int dy}=e^{-y}$, мы получим

$(x+2y)dy-dx=0~~~~|\cdot e^{-y}\\ (x+2y)e^{-y}dy-e^{-y}dx=0$

Дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны:

$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{-y};~~~~\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-e^{-y}\right)=e^{-y}$

$\displaystyle \left \{ {{\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y)} \atop {\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-y}} \atop {\frac{\partial u}{\partial y}}=(x+2y)e^{-y}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{u=-xe^{-y}+\phi(y)} \atop {\frac{\partial u}{\partial y}=(x+2y)e^{-y}}} \right.\\ \\ (-xe^{-y}+\phi(y))'_y=(x+2y)e^{-y}\\ \\ xe^{-y}+\phi'(y)=xe^{-y}+2ye^{-y}\\ \\ \phi'(y)=2ye^{-y}~~~\Rightarrow~~~ \phi(y)=\int2ye^{-y}dy=$

$=\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}u=2y;~~du=2dy\\ e^{-y}dy=dv;~~v=-e^{-y}\end{array}\right\}=-2ye^{-y}+2\int e^{-y}dy=-2ye^{-y}-2e^{-y}$

Общий интеграл:

$-xe^{-y}-2ye^{-y}-2e^{-y}=C\\ \\ \boxed{-(2y+x+2)e^{-y}=C}$