В оригинале, иероглифически правильно пишется: 日本国, что звучит как "Нихон/Ниппон коку", и это официальное название страны, известной во всем мире как Япония, сами же японцы свою страну называют 日本 (Нихон/Ниппон).
日本国 - название, закрепившиеся за страной (до этого именовавшейся Ямато) примерно в 600-м году н.э., когда японский принц-регент Сётоку/Шотоку в письмах посольств в китайскую империю Суй стал писать:
первоначально используя иероглифы 日出 ("Выходящие из Солнца"/"Рожденные Солнцем")), позднее 日本 ("Источник/Родина Солнца") , что Сынов Неба/императоров Поднебесной/китайской империи не очень-то обрадовало. Однако после дворцового переворота 645 года (н.э.) во всех официальных документах эта страна именовалась именно так, и именно так и именуется по сей день.
Суть данных иероглифов:
http://shounen.ru/nihon/kana881.shtml
Что вдобавок, к иероглифическому написанию необходимо добавить - в иероглифической записи нет разделения на прописные и строчные иероглифы, то есть нет написания заглавными и не-заглавными символами, все иероги пишутся одинаково (одинакового роста), и по сути, в самом японском языке (как и в ряде других языков) вопрос о том какой иероглиф в названии страны писать зхаглавно, а какие строчно - не стоит. И кстати - подобное положение вещей не только в системах письма китайского происхождения (куда входит и японская письменность кандзи), но и во многих других системах письма (арабском, еврейском, корейском, глаголице, индийских, тайском и других) буквы не разделяют на прописные и строчные.
Что касается перифразы "Страна Восходящего Солнца" - ситуация неоднозначная.
Авторитетный дядечка Розенталь Дитмар Эльяшевич (известный лингвист) утверждает ("Справочник по правописанию, произношению, лит. редактированию") в разделе "Правописание географических и адм.-территориальных названий":
http://gramma.ru/SPR/?id=5.14
Однако, "Страна Восходящего Солнца" - перевод (пусть и поэтический) устоявшегося традиционного названия страны. Да, перевод сий (с подачи китайцев), с традиционной для русских переводов с восточных языков возвышенной красивостью, однако это перевод единого названия страны, имени собственного страны (и это в нашем переводе это три разных слова, а в японском - одно название, записанное тремя иерогами), а все имена собственные пишутся по единому правилу - с прописной буквы (в русском языке ведь названия и Нижнего Новгорода и Великого Новгорода - пишутся с прописной буквы оба слова, так как единое имя городов состоит из двух слов, странно бы выглядело написание "нижний Новгород", - согласитесь).
Вообщем, согласно авторитетному дядечке Розенталю следует писать "Страна восходящего солнца"
Согласно логике и здравому смыслу - "Страна Восходящего Солнца"