Question

Сравните. Пожалуйста с объяснением!

1) cos 0,8π и cos 0,7π
2) cos 11π\9 и cos 7π\6
3) cos 15π\8 и cos 11π\5
4) cos 218° и sin 230°

Answer 1

При увеличении аргумента от $0$ до $\pi$ (верхняя полуплоскость числовой окружности) косинус убывает от $1$ до $-1$.
При увеличении аргумента от $\pi$ до $2 \pi$ (нижняя полуплоскость числовой окружности) косинус возрастает от $-1$ до $1$

1.
Каждый из углов $0.8 \pi$ и $0.7 \pi$ на числовой окружности лежит в верхней полуплоскости. Так как $0.8 \pi \ \textgreater \ 0.7 \pi$, то $\cos0.8 \pi \ \textless \ \cos0.7 \pi$

2,
Каждый из углов $\dfrac{11 \pi }{9}$ и $\dfrac{7 \pi }{6}$ на числовой окружности лежит в нижней полуплоскости. Сравним:
$\dfrac{11 \pi }{9} \vee \dfrac{7 \pi }{6} \\\ \dfrac{11 }{9} \vee \dfrac{7 }{6} \\\ 11\cdot6 \vee7\cdot 9 \\\ 66 \vee63 \\\ 66\ \textgreater \ 63 \\\ \dfrac{11 \pi }{9} \ \textgreater \ \dfrac{7 \pi }{6}$
Значит, $\cos\dfrac{11 \pi }{9} \ \textgreater \ \cos \dfrac{7 \pi }{6}$

3.
Углы $\dfrac{15 \pi }{8}$ и $\dfrac{11 \pi }{5}$ расположены в 4 и 1 четвертях соответственно. Преобразуем выражения так, чтобы углы располагались в одной полуплоскости:
$\cos \dfrac{15 \pi }{8}= \cos\left(2 \pi - \dfrac{15 \pi }{8}\right)= \cos \dfrac{ \pi }{8} \\\ \cos \dfrac{11\pi }{5}= \cos\left( \dfrac{\pi }{5}+2 \pi \right)= \cos \dfrac{ \pi }{5}$
Теперь оба угла расположены в верней полуплоскости, причем $\dfrac{ \pi }{8} \ \textless \ \dfrac{ \pi }{5}$. Значит, $\cos \dfrac{ \pi }{8} \ \textgreater \ \cos\dfrac{ \pi }{5}$, следовательно $\cos \dfrac{15 \pi }{8} \ \textgreater \ \cos\dfrac{ 11\pi }{5}$

4.
Преобразуем синус к косинусу:
$\sin230^\circ=\cos(90^\circ-230^\circ)=\cos(-140^\circ)=\cos140^\circ$
Углы $218^\circ$ и $140^\circ$ расположены в 3 и 2 четвертях, поэтому преобразуем первое выражение:
$\cos218^\circ=\cos(360^\circ-218^\circ)=\cos142^\circ$
Теперь оба угла лежат в верхней полуплоскости, причем $142^\circ\ \textgreater \ 140^\circ$. Тогда, $\cos142^\circ\ \textless \ \cos140^\circ$ или $\cos218^\circ\ \textless \ \sin230^\circ$