Question

Сколько корней имеет уравнение: |x+1+|−x−3||−6=x

Answer 1

$|x+1+|-x-3||-6=x \\\ |x+1+|-x-3||=x+6$
1. Выясним при каких х выполняется условие $x+1+|-x-3| \geq 0$:
$\left[\begin{array}{l}-x-3 \geq -x-1\\-x-3 \leq -x-1\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}-3 \geq -1\\-x-3 \leq x+1\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x\in R\\-2x \leq 4\end{array} \Rightarrow x \geq -2$
Раскрываем модуль при этом условии:
$x+1+|-x-3|=x+6 \\\ |-x-3|=5 \\\ \left[\begin{array}{l}-x-3=5\\-x-3=-5\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}-x=8\\-x=-2\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=-8\\x=2\end{array}$
Корень $x=-8$ не удовлетворяет условию, при котором раскрыт модуль.
Первый корень: $x_1=2$
2. Раскрываем модуль при условии $x+1+|-x-3| \ \textless \ 0$, то есть при $x \ \textless \ -2$:
$x+1+|-x-3|=-x-6 \\\ |-x-3|=-2x-7$
Раскрываем слудующий модуль при условии $-x-3 \geq 0$, то есть при $x \leq -3$:
$-x-3=-2x-7 \\\ x=-4$
Второй корень: $x_2=-4$
Раскрываем второй модуль при условии $-x-3 \ \textless \ 0$, то есть при $-3\ \textless \ x\ \textless \ -2$:
$-x-3=2x+7 \\\ -3x=10 \\\ x=- \frac{10}{3}$
Полученный корень не удовлетворяет условию, при котором раскрыт модуль.
Итого, уранвение имеет два корня: 2 и -4.
Ответ: два корня