Question

Брусок массы m лежит на плоскости, наклоненной
под углом α к горизонту. На него действует
горизонтальная сила F (см. рисунок). Определите
ускорение бруска. Коэффициент трения бруска о
плоскость M.

Answer 1

В задаче есть случаи, но надо сначала сказать что-нибудь точно

Спроецируем все силы на ось, перпендикулярную плоскости, предполагая, что тело все-таки лежит на ней, а не отрывается от нее внешней силой F

$0 = mg\cos\alpha - N - F\sin\alpha\\ N = mg\cos\alpha - F\sin\alpha$

Итак, поскольку сила реакции опоры не может быть меньше нуля, находим первое ограничение на силу F

$F\sin\alpha\leq mg\cos\alpha\\ F \leq mg\cot\alpha$

Поработаем в этом режиме. Сила F и сила тяжести стремятся двигать брусок вниз вдоль плоскости, значит сила трения направлена вверх вдоль плоскости. Тут также возможны два случая - тело покоится и тело стоит. Найдем в каком случае тело будет покоиться.

$0 = F\cos\alpha+mg\sin\alpha-F_t\\ F_t = F\cos\alpha+mg\sin\alpha$

Сила трения не может превышать μN, поэтому

$\mu(mg\cos\alpha - F\sin\alpha)\geq F\cos\alpha+mg\sin\alpha\\ F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)\leq mg(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)\\ F \leq mg\frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\mu\sin\alpha + \cos\alpha}$

Отметим, что при μ<tgα неравенство теряет смысл, и брусок не сможет ни при каких F, покоиться на плоскости, в ином случае это будет возможно при некоторых малых значениях силы F, и ускорение будет 0. Если брусок движется, то

$ma = F\cos\alpha+mg\sin\alpha - \mu N = \\F\cos\alpha+mg\sin\alpha -\mu(mg\cos\alpha - F\sin\alpha) = \\ F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha) + mg(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\\ a = \frac{F}{m}(\cos\alpha+\mu\sin\alpha) +g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$

Наконец вернемся к случаю, когда сила отрывает брусок от клина. Тогда у тела будет горизонтальное ускорение F/m и вертикальное g, поэтому полное ускорение составит

$a = \sqrt{(F/m)^2+g^2}$
Соберем ответ

1) 
$F \ \textgreater \ mg\cot\alpha$

$a = \sqrt{(F/m)^2+g^2}$

2)
$F\ \textless \ mg\cot\alpha$

2a)
μ<tgα

$a = \frac{F}{m}(\cos\alpha+\mu\sin\alpha) +g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$

2b)
μ >= tgα

2b-1)

$F \leq mg\frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\mu\sin\alpha + \cos\alpha}$

a = 0

2b-2)
$F\ \textgreater \ mg\frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\mu\sin\alpha + \cos\alpha}$

такой же ответ как и в 2а