Question

Составьте уравнение касательной f(x) = x^3+x/x^2-1 x0=2

Answer 1

Общий вид уравнения касательной имеет вид: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Посчитаем сразу значение функции в точке х0=2, т.е.
  $f(2)= \dfrac{2^3+2}{2^2-1}= \dfrac{10}{3}$

Производная данной функции(по правилу дифференцирования частности)
$f'(x)= \displaystyle\dfrac{(x^3+x)'(x^2-1)-(x^3+x)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\\ \\ \\ = \frac{(3x^2+1)(x^2-1)-(x^3+x)\cdot 2x}{(x^2-1)^2} =\\ \\ \\ = \frac{3x^4-2x^2-1-2x^4-2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{x^4-4x^2-1}{(x^2-1)^2}$

Найдем значение производной в точке х0=2

$f'(2)= \dfrac{2^4-4\cdot 2^2-1}{(2^2-1)^2} =- \dfrac{1}{9}$

Искомая касательная: $y=-\dfrac{1}{9} \cdot \bigg(x-2\bigg)+\dfrac{10}{3} =- \dfrac{x}{9} + \dfrac{32}{9}$