Question

1. Доказать, что P(0) это свободный член многочлена P(x) 2. Доказать что P(1) это сумма коэффициентов многочлена P(x). 3. Найдите все многочлены первой степени Q(x) такие, что Q(0)=0, Q(1)=1. 4. Найдите все многочлены первой степени Q(x) такие, что Q(0)=3, Q(1)=91

СРОЧНО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

1) Пусть имеется многочлен n-ой степени, т.е. $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$, где $a_0$ - свободный член. Из того что х = 0 - корень многочлена, то подставив этот корень в многочлен, получим $P(0)=a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0^2+...+a_n\cdot 0^n=a_0$

2) Аналогично x = 1 - корень многочлена P(x), тогда

$P(1)=a_0+a_1\cdot 1+a_2\cdot 1^2+...+a_n\cdot 1^n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$

3) Пусть многочлен первой степени имеет вид $Q(x)=ax+b$. По условию, $Q(0)=0$ и $Q(1)=1$, подставив в многочлен значения, получим

$a\cdot 0+b=0~~~\Rightarrow~~~ b=0\\ a\cdot 1+b=1~~~~\Rightarrow~~~~ a=1$

Искомый многочлен: Q(x) = x

4) Аналогично с предыдущего задания решаем точно также

$a\cdot 0+b=3~~~\Rightarrow~~~ b=3\\ a\cdot 1+b=91~~~\Rightarrow~~~ a=91-3=88$

Искомый многочлен: Q(x) = 88x + 3