<span>(3x+y)^2+(3xy-1)^2-(3x-y)^2=
</span>((3x+y)+(3x-y))(<span>(3x+y)+<span>(3x-y))</span>+(3xy-1)^2=
</span>(6x)(<span>2y)+(3xy-1)^2=</span>(12xy)+(3xy)^2-<span>6xy+1=
</span>=(3xy)^2+<span>6xy+1=</span>(3xy+1)^2=(3xy+1)(3xy+1)
Am²-2m²-ba+2b+2a-a² = (am²-2m²)+(-ba+2b)+(2a-a²) = m²(a-2)-b(a-2)-a(a-2) = (a-2)(m²-b-a)
Если это уравнение выглядит так:
![\frac{y-x^2}{xy}=0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7By-x%5E2%7D%7Bxy%7D%3D0+)
то это парабола, потому что
![\frac{y}{xy}- \frac{x^2}{xy} = \frac{1}{x} - \frac{x}{y} =0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7By%7D%7Bxy%7D-+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bxy%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D++-+%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+%3D0)
![\frac{1}{x} = \frac{x}{y}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D+)
![y=x^2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E2)
(красным цветом на рисунке)
Можно исследовать функцию
![y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%7Bx%7D%5E%7B5%7D%20%20%2B%20%7Bx%7D%5E%7B3%7D%20%20%2B%201)
С помощью производной
![y' = 5 {x}^{4} + 3 {x}^{2} = {x}^{2} (5 {x}^{2} + 3)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%205%20%7Bx%7D%5E%7B4%7D%20%20%2B%203%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%285%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%203%29)
![y' = 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%200)
![{x}^{2} (5 {x}^{2} + 3) = 0 \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%285%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%20%2B%203%29%20%3D%200%20%20%5C%5C%20%20x_%7B1%7D%20%3D%200%20%5C%5C%20x_%7B2%7D%20%3D%200)
Отмечаем на числовой оси полученные нули производной и определяем промежутки знакопостоянства:
++++++[0]+++++>х
Там где производная положиьельная, сама функция возрастает
Изначальная функция непрерывна в точке х=0, поэтому
![y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1](https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%7Bx%7D%5E%7B5%7D%20%20%2B%20%7Bx%7D%5E%7B3%7D%20%20%2B%201)
Возрастает на всей числовой оси, то есть (-оо; +оо)
Если функция возрастающая, определена на всей числовой оси и имеет область значений Е(у) =(-оо;+оо), то она пересекает ось Ох в одной точке.
Следовательно, исходное уравнение имеет всего лишь один корень
Ответ: 1 корень
P.S. можно также построить график и по нему уже точно сказать, что уравнение имеет 1 корень
1) Будем смотреть по четвертям:
в 1-й четверти и синус, и тангенс положительны. но при одинаковых углах синус меньше, чем тангенс ( смотри на ед окружности)
во 2- й четверти синус положителен, а тангенс с минусом ( наше неравенство выполняется) Значит, ответ: (π/2; π)
в 3-й четверти синус с минусом, а тангенс с плюсом ( не подходит)
в 4-й четверти снова синус положителен, а тангенс отрицателен. (наше неравенство выполняется)значит, ответ: (3π/2; 2π)
2) Решаем как квадратное:
D = 1 -4*4*(-5) = 81
а) Cosx = (-1 +9)/8 = 1, x = 2πk, k ∈Z
б) Cosx = (-1 -9)/8 =-5/4 нет решения
3) arcSin(Sin5) = 5