Question

В правильном тетраэдре ABCD середины сторон AB и CD обозначены через E и F.Докажите что EF перпендикулярен АВ и EF перпендикулярен CD.Если АВ=4 см то найдите длину отрезка EF

Answer 1

Тетраэдр-пирамида, у которой все грани-правильные треугольники. 
Рассмотрим ΔDEC:
DE=EC, так как Е-середина АВ по условию,
DF=FC, так как F-середина стороны DC по условию. 
ЕF-медиана равностороннего ΔDEC, а значит и высота⇒EF⊥DC.
Рассмотрим ΔAFB:
AF=FB, так как F-середина стороны DC по условию. 
AE=EB, так как Е-середина АВ по условию, 
 ЕF-медиана равностороннего ΔAFB, а значит и высота⇒EF⊥AB

Если АВ=4см, то в ΔAFB  EF=√(AF²-AE²) 
EF=√(16-4)=√12=2√3 см