Несмотря ни на что, мне удалось выполнить это поручение.
Несмотря ни на что или "не смотря ни на что"?
Чтобы выбрать слитное или раздельное написание слова "несмотря", определю, что в данном контексте оно является производным отглагольным предлогом. Сравним:
Не смотря на её лицо, я ответила на заданный вопрос.
несмотря на плохую погоду, мы все равно пойдем с собакой во двор.
Деепричастие "не смотря" обозначает добавочное действие и пишется согласно правилу орфографии раздельно с отрицательной частицей "не".
Производный предлог "несмотря на", напротив, пишется слитно. Надо же ему хоть чем-то отличаться от омонимичной формы деепричастия!
Оборот "несмотря ни на что" имеет значение уступки и синонимичен "вопреки всему". На слитное написание предлога не влияет присутствие отрицательной частицы "ни".
Факультативно, если оборот "не смотря ни на что" употреблен в прямом значении, возможно раздельное написание деепричастия "не смотря", например:
Не смотря ни на что, девушка вышла из комнаты.
Девушка не смотрела ни на что и вышла из комнаты.