Question

здравствуйте, помогите пожалуйста: а) исследовать на сходимость с помощью признака даламбера знакоположительный ряд. б) исследовать на сходимость с помощью признака лейбница знакочередующийся ряд.в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.
задание № 68

Answer 1

$1)\; \; \sum \frac{2^{n}}{(1+n)^2}\\\\lim_{n\to \infty }\frac{2^{n+1}}{(2+n)^2}\cdot \frac{(1+n)^2}{2^{n}}=2\ \textgreater \ 1\; \; -\; \; rasxoditsya\\\\2)\; \; \sum (-1)^{n}\frac{3}{n+2}\\\\a)\; \; |a_{n}|=\frac{3}{n+2},\; \; \frac{3}{3}\ \textgreater \ \frac{3}{4}\ \textgreater \ \frac{3}{5}\ \textgreater \ ...\ \textgreater \ \frac{3}{n+2}\ \textgreater \ ...\\\\b)\; \; lim_{n\to \infty }|a_{n}|=lim\frac{3}{n+2}=0\\\\sxod.\; po\; priznaky\; Lejbnica\; (yslovno\; sxoditsya)\\\\3)\; \; \sum \frac{x^{n}}{7^{n}}=\sum \frac{1}{7^{n}}\cdot x^{n}\\\\R=lim_{n\to \infty }\frac{C{n}}{C_{n+1}}=$

$=lim_{n\to \infty }\frac{1}{7^{n}}\cdot \frac{7^{n+1}}{1}=7\\\\x_0=0,\; R=7\; \to \; \; interval\; sxodim.:\; (-7,7)\\\\x=7:\; \; \; \sum \frac{x^{n}}{7^{n}}=\sum \frac{7^{n}}{7^{n}}=\sum 1\; -\; rasxod.,\; t.k.\; lim_{n\to \infty }a_{n}=lim1=1\\\\x=-7:\; \sum \frac{x^{n}}{7^{n}}=\sum \frac{(-1)^{n}\cdot 7^{n}}{7^{n}}=\sum (-1)^{n}\; -\; rasxoditsya\; \\\\(po\; priznaky\; Lejbnica)$