Question

Прямая пересекает график функции y=x^2 в двух точках с абсциссами x1 и x2, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x3. Какое наибольшее целое значение может принимать x3, если выполняется равенство х1 * x2=573?

Answer 1

Пусть уравнение прямой имеет вид y = kx + m. По условию она пересекает график y = x^2 в точках x = x1 и x = x2, значит, x1 и x2 - корни уравнения x^2 = kx + m; x^2 - kx - m = 0. По теореме Виета -m = x1 * x2 = 573; m = -573.

Уравнение y = kx - 573 при разных k задаёт все невертикальные прямые, проходящие через точку (0, -573). Очевидно, графики будут иметь две точки пересечения, если прямая лежит между касательными к параболе.

Найдём, при каких k прямая касается параболы. Уравнение kx - 573 = x^2 должно иметь один корень. Приравниваем нулю дискриминант и находим два значения k:
x^2 - kx + 573 = 0
D = k^2 - 4 * 573 = 0
k = +- 2 * sqrt(573)

Два корня будет, если k < -2 * sqrt(573)  или k > 2 * sqrt(573)

Точка пересечения с осью абсцисс находится по формуле x0 = -m/k = 573/k. Учитывая ограничения на k, -sqrt(573)/k < x0 < sqrt(573)/2. Поскольку 121 = 11^2 < 573/4 < 12^2 = 144, наибольшее целое значение x0 равно 11.