V=5×3×5-2×1×2=75-4=71 см^3
<span><em>В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P и K - середина AB и BC соответственно. A₁C = AC₁. <u>Найдите угол между прямыми DD₁ и PK</u></em>
-------------------
<span>Все ребра параллелепипеда равны и параллельны. ⇒
</span>Диагональное сечение АСС</span><em>₁</em>А<em>₁</em><span>- параллелограмм.
Диагонали АС</span><em>₁</em> и А<em>₁</em><span>С равны по условию.
Следовательно, АСС</span><em>₁</em>А<em>₁</em><span><span> - прямоугольник ( по признаку).
</span><em>Если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.</em>
<span>РК<u> лежит </u>в плоскости основания параллелепипеда, DD</span></span><em>₁</em><span><span> эту плоскость <u>пересекает,</u>⇒ они <u>скрещивающиеся. </u>
</span><em>Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
</em>ВР=РА, ВК=КС<span>КР - средняя линия треугольника СВА ⇒
</span>АС||КР
Все ребра параллелепипеда параллельны между собой по определению. Проведем через точку пересечения АС</span><em>₁</em> и СА<em>₁</em> прямую МН || АА<em>₁</em><span>.
Ребро АА</span><em>₁</em>||DD<em>₁</em>⇒<span>
МН||DD</span><em>₁</em><span>.
Т.к. АСС</span><em>₁</em>А<em>₁</em><span> прямоугольник, МН перпендикулярна АС.
<span>Угол Между МН и АС прямой ⇒
</span><span><u><em>угол </em>между </u><u>прямыми DD₁ и PK равен <em>90º</em></u></span></span>
Пусть ребра единичные.
найдем высоту пирамиды .
два противоположных боковых ребра по единице - диагональ основания √2 - высота √2/2
Пусть А-начало координат .
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - вверх в сторону S
Вектора
SK (0;-0.5;-√2/2) длина √(1/4+2/4)=√3/2
AC (1;1;0) длина √2
косинус искомого угла
| SK*AC | / | SK | / | AC | = 0.5 / (√2/2) / (√2)= 1/2
угол 60 градусов.
Обозначим сторону квадрата, лежащего в основании пирамиды, через а.
Апофема - высота боковой грани (треугольника) равна h=12 .
S(бок)=4·1/2·12·а=24а
24а=120
а=5
Р=4а=4·5=20