---------------------------------------------первоначальный
1
------------------- ------------------------ половина
1\2 1\2
------------------- ------------ ----------- половина от половины
1\4 1\4 1\4 1\4
три куска
Дано
![T_1 = 2; T_n = 2*T_{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=T_1+%3D+2%3B+T_n+%3D+2%2AT_%7Bn-1%7D)
Или, что то же самое
![T_m=2^m](https://tex.z-dn.net/?f=T_m%3D2%5Em)
Докажем утверждение:
![\sum_{k=1}^n T_k = T_{n+1} - 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En+T_k+%3D+T_%7Bn%2B1%7D+-+2)
Для n = 1 утверждение истинно и выглядит как 2=4-2.
Пусть это утверждение верно для некоего p,
![\sum_{k=1}^p T_k = T_{p+1} - 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ep+T_k+%3D+T_%7Bp%2B1%7D+-+2)
тогда
![\sum_{k=1}^{p+1} T_k = \sum_{k=1}^{p} T_k + T_{p+1}=(T_{p+1} - 2) + T_{p+1}=\\=2*T_{p+1}-2 = T_{p+2} - 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp%2B1%7D+T_k+%3D+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp%7D+T_k++%2B+T_%7Bp%2B1%7D%3D%28T_%7Bp%2B1%7D+-+2%29+%2B+T_%7Bp%2B1%7D%3D%5C%5C%3D2%2AT_%7Bp%2B1%7D-2+%3D+T_%7Bp%2B2%7D+-+2)
Таким образом наше первоначальное утверждение верно для любого натурального n.
Следовательно
![T_1 + T_2+...+T_{255}=\sum_{k=1}^{255}T_k=T_{256}-2=2^{256}-2](https://tex.z-dn.net/?f=T_1+%2B+T_2%2B...%2BT_%7B255%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B255%7DT_k%3DT_%7B256%7D-2%3D2%5E%7B256%7D-2)
Теперь найдем остаток
![\frac{2^{256}-2}{255}=\frac{2^{256}-1}{2^8-1}-\frac{1}{2^8-1}=\\=(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)(2^{128}+1)-\frac{1}{2^8-1}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%5E%7B256%7D-2%7D%7B255%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7B256%7D-1%7D%7B2%5E8-1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E8-1%7D%3D%5C%5C%3D%282%5E8%2B1%29%282%5E%7B16%7D%2B1%29%282%5E%7B32%7D%2B1%29%282%5E%7B64%7D%2B1%29%282%5E%7B128%7D%2B1%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E8-1%7D)
Таким образом добавление единицы к исследуемой сумме сделает ее делящейся на 255 нацело, т.е. остаток от деления суммы на 255 будет равен 254.
Ответ: 254
1)83-60=23кв
Ответ в первом доме на 23 квартиры больше