Question

Помогите пожалуйста с решением дифференциальных уравнений

Answer 1

$xy'-y=x^2\, cosx\; \; ,\; \; y(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi}{2}\\\\y'-\frac{y}{x}=x\, cosx\\\\y=uv\; \; \Rightarrow \; \; \; u'v+uv'-\frac{uv}{x}=x\, cosx\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{v}{x})=x\, cosx\\\\a)\; \; v'-\frac{v}{x}=0\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}\; \; ,\; \; ln|v|=ln|x|\; \; ,\; \; v=x\\\\b)\; \; u'v=x\, cosx\; \; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot x=x\, cosx\; ,\; \; \int du=\int cosx\, dx\; \; ,\\\\u=sinx+C\\\\c)\; \; y_{obshee}=x\cdot (sinx+C)$

$d)\; \; y(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\cdot (sin\frac{\pi }{2}+C)=\frac{\pi }{2}\cdot (1+C)\; ,\\\\\frac{\pi}{2}\cdot (1+C)=\frac{\pi }{2}\; \; \to \; \; C=0\\\\e)\; \; y_{chastnoe}=x\cdot sinx$