Question

Решите, пожалуйста систему уравнений логарифмическую.

Answer 1

Из первого уравнения:
$lnx - lny = ln3 \\ ln \frac{x}{y} = ln3 \\ \frac{x}{y} =3 \\ x= 3y$

Подставим значение Х  во второе уравнение:
$x-2y=5 \\ 3y-2y=5 \\ 5y =5 \\ y =1$
тогда
$x= 3y = 3*1 =3$

Ответ: ( 3; 1)

Answer 2

Поскольку главная проблема в навыке решать подобные уравнения, решим аналогичное, чтобы уметь решать любые подобные задачи


*** РЕШИТЬ СИСТЕМУ:
$\ln{2x} - \ln{y} = 3$ ; (I) – первое уравнение системы,
$x + 3y = 18$ ; (II) - второе уравнение системы.

*** РЕШЕНИЕ:
Первое, область определения уравнения (т.е., когда оно имеет смысл) :

x > 0 и y > 0 ;


Если выполнены эти условия, то первое уравнение системы можно преобразовать:

$\ln{2x} - \ln{y} = ln{ \frac{2x}{y} }$ ;

При этом, поскольку получается, что $\ln{ \frac{2x}{y} } = \ln{3}$,

значит: $\frac{2x}{y} = 3$ ;

Теперь, просто решим систему подстановкой, выразив x из второго уравнения (II) :

$x = 18 - 3y$ ; (II*) – следствие из второго уравнения начальной системы.


Подставляем в $\frac{2x}{y} = 3$ и получаем, что $\frac{ 2 ( 18 - 3y ) }{y} = 3$ ;

Домножаем всё на y и получаем, что $2 ( 18 - 3y ) = 3y$ ;

Далее: $36 - 6y = 3y$ ;

$36 = 9y$ ;

$y = 4$ ;

Из связи $x = 18 - 3y$ найдйм, что $x = 18 - 3*4 = 6$ ;

x и y больше нуля, т.е. они соответствуют области определения.


*** ОТВЕТ: ( x ; y ) = ( 6 ; 4 ).



В вашем случае получится такой ответ, что оба числа будут положительными, а в сумме x и y будут давать 20, и оба будут кратными числу 5.

Такая пара чисел – единственна, так что не промахнётесь.