..........................
Анализируем:
53^1 - оканчивается на 3
53^2 - на 9
53^3 - на 7
53^4 - на 1, далее все повторяется.
Разложим степень 2012 на множители
2012 = 4 * 503
503 = 4 * 125 + 3
125 = 4 * 31 + 1
31 = 4 * 7 + 3
7 = 4 + 3
Получаем:
[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4
Опираемся на анализ выше: 53^4 оканчивается на 1, 53^3 - на 7. Следовательно, произведение 53^4 * 53^3 оканчивается на 7.
7^1 - оканчивается на 7
7^2 - на 9
7^3 - на 3
7^4 - на 1.
(53^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1
((53^4 * 53^3)^4 * 53^3) - оканчивается на 7
((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1
[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53] - оканчивается на 3
[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 - оканчивается на 1
[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3] - оканчивается на 7
[[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4 - оканчивается на 1
Следовательно, 53^2012 оканчивается на 1
1 час - 60 минут
полчаса - 30 минут
скорость одного велосипедиста в 2 раза больше скорости другого
2х × 30 + х × 30 = весь путь
3х × 60 = весь путь
60 : 3 = 20 минут
Ответ: они встретятся через 20 минут
![\sqrt{3+2\sqrt 2}=\sqrt{2+1+2\sqrt2}=\sqrt{(\sqrt 2)^2+2\sqrt 2+1}=\\=\sqrt{(\sqrt 2+1)^2}=\sqrt{2}+1.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B3%2B2%5Csqrt+2%7D%3D%5Csqrt%7B2%2B1%2B2%5Csqrt2%7D%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt+2%29%5E2%2B2%5Csqrt+2%2B1%7D%3D%5C%5C%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt+2%2B1%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%2B1.)
![\sqrt{4-2\sqrt 3}=\sqrt{3+1-2\sqrt 3}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\sqrt 3+1 }=\\=\sqrt{(\sqrt 3-1)^2}=\sqrt 3 -1.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B4-2%5Csqrt+3%7D%3D%5Csqrt%7B3%2B1-2%5Csqrt+3%7D%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2-2%5Csqrt+3%2B1+%7D%3D%5C%5C%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt+3-1%29%5E2%7D%3D%5Csqrt+3+-1.)
![\sqrt{13-4\sqrt 3}=\sqrt{12+1-2 \cdot 2 \sqrt 3}= \sqrt{ 4 \cdot 3 -2 \cdot 2 \sqrt 3+1}=\\=\sqrt{(2\sqrt 3)^2- 2 \cdot 2 \sqrt 3 +1}=\sqrt{(2\sqrt 3 -1)^2} =2 \sqrt 3 -1.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B13-4%5Csqrt+3%7D%3D%5Csqrt%7B12%2B1-2+%5Ccdot+2+%5Csqrt+3%7D%3D+%5Csqrt%7B+4+%5Ccdot+3+-2+%5Ccdot+2+%5Csqrt+3%2B1%7D%3D%5C%5C%3D%5Csqrt%7B%282%5Csqrt+3%29%5E2-+2+%5Ccdot+2+%5Csqrt+3+%2B1%7D%3D%5Csqrt%7B%282%5Csqrt+3+-1%29%5E2%7D+%3D2+%5Csqrt+3+-1.)
![\sqrt{9+4\sqrt 2}=\sqrt{8+1+2 \cdot 2 \sqrt 2}= \sqrt{(2 \sqrt 2 )^2+2 \cdot 2 \sqrt 2+1}=\\= \sqrt{(2\sqrt{2}+1)^2}=2 \sqrt{2}+1.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B9%2B4%5Csqrt+2%7D%3D%5Csqrt%7B8%2B1%2B2+%5Ccdot+2+%5Csqrt+2%7D%3D+%5Csqrt%7B%282+%5Csqrt+2+%29%5E2%2B2+%5Ccdot+2+%5Csqrt+2%2B1%7D%3D%5C%5C%3D+%5Csqrt%7B%282%5Csqrt%7B2%7D%2B1%29%5E2%7D%3D2+%5Csqrt%7B2%7D%2B1.)
***
Если появятся какие-нибудь вопросы — задавайте.
Если моё решение оказалось полезным, смело отмечайте его как «лучший ответ».