Решение смотри в приложении
Пусть х км/ч собственная скорость катера, x>0. Тогда:
(х-1) км/ч - скорость катера против течения,
(х+1) км/ч - скорость катера по течению,
20/(х-1) время движения катера против течения,
20/(х+1) время движения катера по течению.
На весь путь катер потратил 4,5 чаca. Составим и решим уравнение:<span> 20/(х-1) +20/(х+1)=4,5, ОДЗ : х≠1, х≠-1,
20(х+1)+20(х-1)=4,5(х²-1),
20х+20+20х-20-4,5х²+4,5=0,
-4,5х²+40х+4,5=0,
4,5х²-40х-4,5=0,
D=1600+81=1681, √D=41,
x1=(40-41)/9=-1/9- не удовлетворяет условию,
x2= </span><span><span>(40+41)/9=9 км/ч.
Ответ:х=9 км/ч.</span></span>
Корень нечетной степени из -1 всегда -1
![\sqrt[15]{-1}=-1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B15%5D%7B-1%7D%3D-1+)
Учтем, что:
![(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \\(x-3)^2 \neq 0\Rightarrow x \neq 3](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2B2%29%5E2+%5Cneq+0+%5CRightarrow+x+%5Cneq+-2%0A%5C%5C%28x-3%29%5E2+%5Cneq+0%5CRightarrow+x++%5Cneq+3)
умножим обе части на (x+2)^2(x-3)^2 (так как данное выражение положительно и не равно 0 по одз) и свернем числители по формулам квадрат суммы и квадрат разности:
![(x-3)^2(x-1)^2+(x+2)^2(x+1)^2 \leq \frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2 \\(x^2-x-3x+3)^2+(x^2+x+2x+2)^2 \leq \frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-3%29%5E2%28x-1%29%5E2%2B%28x%2B2%29%5E2%28x%2B1%29%5E2+%5Cleq++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A%282x%5E2-x%2B5%29%5E2%0A%5C%5C%28x%5E2-x-3x%2B3%29%5E2%2B%28x%5E2%2Bx%2B2x%2B2%29%5E2+%5Cleq++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A%282x%5E2-x%2B5%29%5E2)
воспользуемся формулой квадрат трехчлена:
![(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc](https://tex.z-dn.net/?f=%28a%2Bb%2Bc%29%5E2%3Da%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2B2ab%2B2ac%2B2bc)
получим:
![(x^2-4x+3)^2+(x^2+3x+2)^2 \leq \frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \\(x^2-4x+3)^2=x^4+16x^2+9-8x^3+6x^2-24x=x^4-8x^3+22x^2\\-24x+9 \\(x^2+3x+2)^2=x^4+9x^2+4+6x^3+4x^2+12x=x^4+6x^3+13x^2\\+12x+4 \\2x^4-2x^3+35x^2-12x+13 \leq \frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \\4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 \leq (2x^2-x+5)^2 \\(2x^2-x+5)^2=4x^4+x^2+25-4x^3+20x^2-10x=4x^4-4x^3+21x^2\\-10x+25 \\4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 \leq 4x^4-4x^3+21x^2-10x+25 \\70x^2-24x+26 \leq 21x^2-10x+25 \\70x^2-21x^2-24x+10x+26-25 \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-4x%2B3%29%5E2%2B%28x%5E2%2B3x%2B2%29%5E2++%5Cleq++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A%282x%5E2-x%2B5%29%5E2%0A%5C%5C%28x%5E2-4x%2B3%29%5E2%3Dx%5E4%2B16x%5E2%2B9-8x%5E3%2B6x%5E2-24x%3Dx%5E4-8x%5E3%2B22x%5E2%5C%5C-24x%2B9%0A%5C%5C%28x%5E2%2B3x%2B2%29%5E2%3Dx%5E4%2B9x%5E2%2B4%2B6x%5E3%2B4x%5E2%2B12x%3Dx%5E4%2B6x%5E3%2B13x%5E2%5C%5C%2B12x%2B4%0A%5C%5C2x%5E4-2x%5E3%2B35x%5E2-12x%2B13+%5Cleq++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A%282x%5E2-x%2B5%29%5E2%0A%5C%5C4x%5E4-4x%5E3%2B70x%5E2-24x%2B26+%5Cleq+%282x%5E2-x%2B5%29%5E2%0A%5C%5C%282x%5E2-x%2B5%29%5E2%3D4x%5E4%2Bx%5E2%2B25-4x%5E3%2B20x%5E2-10x%3D4x%5E4-4x%5E3%2B21x%5E2%5C%5C-10x%2B25%0A%5C%5C4x%5E4-4x%5E3%2B70x%5E2-24x%2B26+%5Cleq+4x%5E4-4x%5E3%2B21x%5E2-10x%2B25%0A%5C%5C70x%5E2-24x%2B26+%5Cleq+21x%5E2-10x%2B25%0A%5C%5C70x%5E2-21x%5E2-24x%2B10x%2B26-25+%5Cleq+0)
![49x^2-14x+1 \leq 0 \\(7x)^2-2*1*7x+1^2 \leq 0 \\(7x-1)^2 \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=49x%5E2-14x%2B1+%5Cleq+0%0A%5C%5C%287x%29%5E2-2%2A1%2A7x%2B1%5E2+%5Cleq+0%0A%5C%5C%287x-1%29%5E2+%5Cleq+0)
выражение (7x-1)^2 всегда больше или равно 0, поэтому:
![\left \{ {{(7x-1)^2 \leq 0} \atop {(7x-1)^2 \geq 0}} \right. \Rightarrow x \in \{ \frac{1}{7} \}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B%287x-1%29%5E2+%5Cleq+0%7D+%5Catop+%7B%287x-1%29%5E2++%5Cgeq++0%7D%7D+%5Cright.+%5CRightarrow++x+%5Cin+%5C%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D+%5C%7D)
решением неравенства является единственное значение x: x=1/7
Ответ:
![x \in \{ \frac{1}{7} \}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%5C%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D+%5C%7D)