Question

Перед входом в крепость сложена пирамида из одинаковых пушечных ядер (в основании — правильный треугольник, и ядра каждого следующего слоя лежат в ямках предыдущего слоя). Каким может быть количество ядер в этой пирамиде?

Answer 1

Пластилин тебе в помощь, чтобы разобраться!
Рассмотрим самый элементарный случай - в основании треугольник из трех ядер (2+1), значит на след. уровне - 1 ядро. Ответ: 4.
Если в основании треугольник из 9 ядер (3+2+1), то на след.уровне 2+1 ямок, еще на след. 1. Тогда всего ядер 1+3+9. Ответ: 13.
Замечаем, что при каждом новом варианте основание увеличивается. Значит, можно вывести последовательность и дать полный ответ на вопрос, указав все возможные варианты. Попробуем задать правило для этой арифметической прогрессии. Замечаем, что если треугольник (!!! еще не пирамида) состоит из:
1 уровень) 1 ядро
2) 1+2=3
3) 3+3=6
4) 6+4=10 и т.д. 15,21,28...
Соответственно, формула для треугольника из ядер имеет вид $a_{n} = a_{n-1} +n$, где n≥2, $a_{1}$=3.
Далее вычисляем ядра для пирамиды.
1) 1
2) 1+3 (а 3 - это 2 уровень треугольника)
3) 1+3+6 (а 6 - это 3 уровень треугольника) и т.д.
Соответственно, формула для пирамиды из ядер имеет вид $b_{n} = b_{1} + b_{n-1} + a_{n-1} +n$, где n≥2, $a_{1}$=3, $b_{1}$=1.